Encontre a área delimitada pelas retas e curvas dadas:
A parábola x=-y^2 e a reta y=x+2

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela parábola x = -y^2 e pela reta y = x + 2. Vamos usar integração em relação a y, pois ambas as curvas podem ser escritas como funções de y.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
-y^2 = y - 2
ou seja
y^2 + y - 2 = 0
As raízes são
y = -1 pm raiz1 + 82 = 1,;-2
Logo a região varia de y=-2 até y=1.

Passo 3

Em cada valor de y entre -2 e 1, o valor de x na parábola é
xpar = -y^2,
e o da reta, isolando x em y = x + 2, é
xret = y - 2
Como xret fica à esquerda de xpar, a largura horizontal do elemento é
De<a x = xpar - xret = -y^2 - (y - 2) = -y^2 - y + 2

Passo 4

O elemento de área é De<a A = De<a x,dy. Portanto a área total é
A = integraly=-2^1 l(-y^2 - y + 2r),dy

Passo 5

Calculando a integral:
integral l(-y^2 - y + 2r) dy = -y^33 - y^22 + 2y
Avaliado de -2 a 1,
gl(-tfrac1^33 - tfrac1^22 + 2cdot1gr) - gl(-tfrac(-2)^33 - tfrac(-2)^22 + 2cdot(-2)gr) = 76 - !l(-tfrac103r) = 76 + 103 = 92

Resposta

A área da região é 92.

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