Exercício 01. O trabalho feito por um gás ideal durante expansão é dado por d W=-n R d T+n R T P^-1 d P. Mostre que d W é inexato utilizando o critério de Euler.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a expressão para o trabalho ( dW) realizado por um gás ideal durante sua expansão:
dW = -nR,dT + nRTP^-1,dP
O objetivo é mostrar que esse trabalho dW é inexato, ou seja, que ele não pode ser derivado de uma função de estado usando o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como diferenciais exatos e inexatos, e aplicar o Critério de Euler para verificar a existência de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa um diferencial ser exato ou inexato. Em termodinâmica, um diferencial exato corresponde a uma variação que depende apenas do estado inicial e final do sistema, ou seja, é derivado de uma função de estado. Já um diferencial inexato depende do caminho seguido pelo processo, não podendo ser derivado de uma função de estado.
O trabalho dW representa uma quantidade de energia transferida que depende do caminho percorrido pelo sistema durante a expansão, o que sugere que ele pode ser um diferencial inexato. Para confirmar isso, usaremos o Critério de Euler.

Passo 3

O Critério de Euler nos ajuda a determinar se um diferencial é exato ou inexato. Segundo esse critério, para um diferencial dW na forma geral:
dW = M(T,P),dT + N(T,P),dP
dW é exato se e somente se:
partial Mpartial P = partial Npartial T
Então, vamos identificar M(T,P) e N(T,P) na nossa expressão para dW:
M(T,P) = -nR
N(T,P) = nRTP^-1

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Calculando partial Mpartial P:
    Como M = -nR é uma constante em relação a P, temos:
partial Mpartial P = 0
  1. Calculando partial Npartial T:
    Começamos com N = nRTP^-1.
    Derivando em relação a T:
partial Npartial T = nRP^-1

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Mpartial P = 0
partial Npartial T = nRP^-1
Como 0 neq nRP^-1 (a menos que T ou P sejam valores específicos que não são geralmente verdadeiros), a condição do Critério de Euler não é satisfeita.

Resposta

Portanto, pelo Critério de Euler, como partial Mpartial P neq partial Npartial T, concluímos que dW é inexato.

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