Exercício 01. O trabalho feito por um gás ideal durante expansão é dado por
. Mostre que
é inexato utilizando o critério de Euler.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a expressão para o trabalho (
) realizado por um gás ideal durante sua expansão:
O objetivo é mostrar que esse trabalho
é inexato, ou seja, que ele não pode ser derivado de uma função de estado usando o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como diferenciais exatos e inexatos, e aplicar o Critério de Euler para verificar a existência de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa um diferencial ser exato ou inexato. Em termodinâmica, um diferencial exato corresponde a uma variação que depende apenas do estado inicial e final do sistema, ou seja, é derivado de uma função de estado. Já um diferencial inexato depende do caminho seguido pelo processo, não podendo ser derivado de uma função de estado.
O trabalho
representa uma quantidade de energia transferida que depende do caminho percorrido pelo sistema durante a expansão, o que sugere que ele pode ser um diferencial inexato. Para confirmar isso, usaremos o Critério de Euler.
Passo 3
O Critério de Euler nos ajuda a determinar se um diferencial é exato ou inexato. Segundo esse critério, para um diferencial
na forma geral:
Então, vamos identificar
e
na nossa expressão para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
-
Calculando
: Comoé uma constante em relação a , temos:
-
Calculando
: Começamos com. Derivando em relação a:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como
(a menos que
ou
sejam valores específicos que não são geralmente verdadeiros), a condição do Critério de Euler não é satisfeita.
Resposta
Portanto, pelo Critério de Euler, como
, concluímos que
é inexato.