Sobre o cicloide virado, o deslizador faz o mesmo tempo T para chegar à parte inferior Q, de qualquer parte P que comece a deslizar. Se comienza a deslizar no
ponto P no gráfico com velocidade inicial v=0, quando theta=alpha. Mostre que o tempo para deslizar de P a Q é
T=integralalpha^pi raiz2 a^2(1-cos theta) d thetaraiz2 a g(cos alpha-cos theta)
Usando: 1-cos theta=2 sin ^2(theta / 2) e 1-cos alpha=2 sin ^2(alpha / 2), Calcule a integral e mostre que T=pi raizag.
Sug. agora 12 m v^2-m g y não é zero.

Passo 1

O enunciado nos dá o tempo
T=integralalpha^piraiz2a^2(1-costheta)raiz2ag(cosalpha-costheta),dtheta
e pede para mostrar que, usando
1-costheta=2sin^2!l(theta2r) e 1-cosalpha=2sin^2!l(alpha2r),
esse integral vale piraiztfracag. Vamos simplificar o integrando com identidades trigonométricas e depois fazer substituições padrão.

Passo 2

Aplicamos as identidades ao numerador e ao denominador:
raiz2a^2(1-costheta) =raiz2a^2cdot2sin^2!l(theta2r) =2a,sin!l(theta2r)
cosalpha-costheta =2sin!l(theta+alpha2r), sin!l(theta-alpha2r) Longrightarrow raiz2ag(cosalpha-costheta) =2raizag,raizsin!l(theta+alpha2r), sin!l(theta-alpha2r)
Logo o integrando fica
2a,sin!l(theta2r) 2raizag,raizsin!l(theta+alpha2r) sin!l(theta-alpha2r) =raizag, sin!l(theta2r) raizsin!l(theta+alpha2r) sin!l(theta-alpha2r)
Portanto
T=raizag integralalpha^pi sin!l(theta2r) raizsin!l(theta+alpha2r) sin!l(theta-alpha2r),dtheta

Passo 3

Fazemos a troca de variável phi=tfractheta2, de modo que theta=2phi, dtheta=2,dphi, e os limites vão de phi=tfracalpha2 até phi=tfracpi2. Assim
T =2raizag integralalpha/2^pi/2 sinphiraizsin!l(phi+tfracalpha2r), sin!l(phi-tfracalpha2r),dphi
Usamos ainda
sin!l(phi+tfracalpha2r), sin!l(phi-tfracalpha2r) =sin^2!phi-sin^2!l(alpha2r)
para escrever
T =2raizag integralalpha/2^pi/2 sinphiraizsin^2!phi-sin^2!l(tfracalpha2r),dphi

Passo 4

Agora usamos u=cosphi, de modo que du=-sinphi,dphi. Assim
integral sinphiraizsin^2phi-sin^2(tfracalpha2),dphi =-integralduraiz(1-u^2)-sin^2(tfracalpha2) =-integralduraizcos^2(tfracalpha2)-u^2,
e os limites em u vão de u(phi=tfracalpha2)=cos(tfracalpha2) até u(phi=tfracpi2)=0. Portanto
T =2raizag l[-integralcos(alpha/2)^0duraizcos^2(tfracalpha2)-u^2r] =2raizag integral0^cos(alpha/2)duraizcos^2(tfracalpha2)-u^2

Passo 5

Usamos a integral padrão
integralduraizA^2-u^2 =arcsin!l(uAr),
com A=cos(tfracalpha2). Isso dá
T =2raizag l[arcsin!l(tfracucos(alpha/2)r)r]0^cos(alpha/2) =2raizagl(arcsin1-arcsin0r) =2raizagcdotpi2 =piraizag

Resposta

T=piraizag

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