Encontre a área da região limitada pelas curvas:
y=\sin x, y=x \sin x, x=0 e x=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=\sin x, \,y=x\sin x, \,x=0 e \,x=\tfrac{\pi}{2}. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” e vamos precisar:
  1. Encontrar onde as curvas se interceptam em [0,\tfrac{\pi}{2}].
  2. Identificar, em cada subintervalo, qual é a função de cima (maior) e qual é a de baixo (menor).
  3. Montar a integral da forma \int (f_{\text{topo}} - f_{\text{base}})\,dx, possivelmente dividindo o intervalo onde muda a ordem.

Passo 2

As interseções satisfazem
\sin x \;=\; x\,\sin x
\sin x\,(1 - x) = 0
Logo em [0,\tfrac{\pi}{2}] temos x=0 e x=1.

Passo 3

Para determinar qual curva está acima ou abaixo, analisamos o sinal de
\sin x \;-\; x\,\sin x \;=\;\sin x\,(1-x).
Em 0 < x < 1 temos 1-x>0, logo \sin x > x\sin x.
Em 1 < x < \tfrac{\pi}{2} temos 1-x<0, logo x\sin x > \sin x.

Passo 4

Dividimos a área em duas partes:
A =\int_{0}^{1}\bigl(\sin x - x\sin x\bigr)\,dx \;+\; \int_{1}^{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(x\sin x - \sin x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculemos a primeira integral:
\int_{0}^{1}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_{0}^{1} =1-\cos1,
\int_{0}^{1}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x + \sin x\bigr]_{0}^{1} =-\cos1 + \sin1.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl(\sin x - x\sin x\bigr)\,dx =(1-\cos1)-(-\cos1+\sin1) =1-\sin1.

Passo 6

Agora a segunda integral:
\int_{1}^{\tfrac{\pi}{2}}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x + \sin x\bigr]_{1}^{\tfrac{\pi}{2}} =1-(-\cos1+\sin1) =1+\cos1-\sin1,
\int_{1}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\,dx =-\cos x\Big|_{1}^{\tfrac{\pi}{2}} =\cos1.
Logo
\int_{1}^{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(x\sin x - \sin x\bigr)\,dx =(1+\cos1-\sin1)-\cos1 =1-\sin1.

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A=(1-\sin1)+(1-\sin1)=2\,(1-\sin1).

Resposta

\boxed{2\,(1-\sin1)}

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