Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
I=2\left[\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin ^{2} \theta d \theta+\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2}(2 \theta) d \theta\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a área em coordenadas polares
I = 2\Biggl[\frac12\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^{2}\theta\,d\theta \;+\;\frac12\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}(2\theta)\,d\theta\Biggr]
e lembra que, em polares, a área de uma região limitada pela curva r=f(\theta) entre \theta=a e \theta=b é
A = \frac12\int_{a}^{b}f(\theta)^{2}\,d\theta.
Aqui vemos dois trechos de curva: um definido por r=\sin\theta para 0\le\theta\le\pi/6 e outro por r=\cos(2\theta) para \pi/6\le\theta\le\pi/4. O fator 2 à frente indica que o pedaço acima do eixo x deve ser refletido abaixo do eixo x.

Passo 2

Interpretamos o primeiro integral
\frac12\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^{2}\theta\,d\theta
como a área da região R_{1} em que
0\le\theta\le\frac{\pi}{6}, \quad 0\le r\le\sin\theta.
Em coordenadas cartesianas essa curva r=\sin\theta é o círculo
x^{2}+y^{2}=y,
ou seja um círculo de raio \tfrac12 centrado em \bigl(0,\tfrac12\bigr), cortado pelo eixo x em (0,0).

Passo 3

O segundo integral
\frac12\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}(2\theta)\,d\theta
é a área da região R_{2} em que
\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{4}, \quad 0\le r\le\cos(2\theta).
A curva r=\cos(2\theta) é uma rosa de quatro pétalas; no intervalo \theta\in[\pi/6,\pi/4] seguimos o arco de uma dessas pétalas até se anular em \theta=\pi/4.

Passo 4

O fator 2 em
I = 2\bigl(\text{área}(R_{1})+\text{área}(R_{2})\bigr)áá
significa que tomamos também as regiões simétricas de R_{1} e R_{2} em relação ao eixo x. Assim o domínio total é
\bigl\{(r,\theta)\mid 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{6},\;0\le r\le\sin\theta\bigr\} \cup \bigl\{(r,\theta)\mid \tfrac{\pi}{6}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4},\;0\le r\le\cos(2\theta)\bigr\}
acima do eixo x, mais a reflexão dessas mesmas duas peças abaixo do eixo x.

Passo 5

Em suma, a região pedida é a união das duas peças acima e abaixo do eixo x:
  • O setor limitado pelas retas \theta=0 e \theta=\pi/6 e pela curva circular r=\sin\theta.
  • O setor limitado pelas retas \theta=\pi/6 e \theta=\pi/4 e pela pétala da rosa r=\cos(2\theta).
Graficamente, isso dá um “trevo” assimétrico, com a parte interna seguindo o círculo de diâmetro sobre o eixo y, depois trocando para o arco de rosa até \theta=\pi/4, e repetido abaixo do eixo x.

Resposta

A região é formada, para 0\le\theta\le\pi/6, pelo setor de raio r=\sin\theta e, para \pi/6\le\theta\le\pi/4, pelo setor de raio r=\cos(2\theta), tudo isso acima do eixo x e refletido abaixo do eixo x.

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