Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a área em coordenadas polares
e lembra que, em polares, a área de uma região limitada pela curva
entre
e
é
Aqui vemos dois trechos de curva: um definido por
para
e outro por
para
. O fator 2 à frente indica que o pedaço acima do eixo
deve ser refletido abaixo do eixo
.
Passo 2
Interpretamos o primeiro integral
como a área da região
em que
Em coordenadas cartesianas essa curva
é o círculo
ou seja um círculo de raio
centrado em
, cortado pelo eixo
em
.
Passo 3
O segundo integral
é a área da região
em que
A curva
é uma rosa de quatro pétalas; no intervalo
seguimos o arco de uma dessas pétalas até se anular em
.
Passo 4
O fator 2 em
significa que tomamos também as regiões simétricas de
e
em relação ao eixo
. Assim o domínio total é
acima do eixo
, mais a reflexão dessas mesmas duas peças abaixo do eixo
.
Passo 5
Em suma, a região pedida é a união das duas peças acima e abaixo do eixo
:
- O setor limitado pelas retas
e e pela curva circular . - O setor limitado pelas retas
e e pela pétala da rosa .
Graficamente, isso dá um “trevo” assimétrico, com a parte interna seguindo o círculo de diâmetro sobre o eixo
, depois trocando para o arco de rosa até
, e repetido abaixo do eixo
.
Resposta
A região é formada, para
, pelo setor de raio
e, para
, pelo setor de raio
, tudo isso acima do eixo
e refletido abaixo do eixo
.