A função gama é definida para todo
por
(a) Calcule
e
.
(b) Mostre que, para
inteiro positivo,
.
(b) Mostre que, para
Passo 1
O enunciado define a função Gama por
e pede (a) os valores de
e
, e (b) que se prove a relação de recorrência
para
inteiro positivo. Para isso, vamos usar avaliação direta de integrais e o método de integração por partes.
Passo 2
Calcular
substituindo
:
Essa integral é imediata:
Logo
.
Passo 3
Calcular
substituindo
:
Usamos integração por partes escolhendo
Então
Portanto
.
Passo 4
Para provar a recorrência, observe que, para
,
Aplicando integração por partes com
obtém-se
Isso mostra exatamente que
Resposta
(a)
,
.
(b) Para inteiro positivo,
.
(b) Para