Encontre a área da região sombreada.
r^2=sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva polar
r^2=sin(2theta)
Esse é o formato de uma lemniscata de Bernoulli (duas “folhas”). Para encontrar a área de uma “folha” usaremos o teorema de área em coordenadas polares:
Área=tfrac12integraltheta1^theta2r^2,dthetaÁ

Passo 2

Determinar o intervalo em que a folha está descrita e em que r é real (não imaginário). Como r^2=sin(2theta), precisamos de
sin(2theta)>=0Longrightarrow 2thetain[0,pi];Rightarrow;thetainl[0,tfracpi2r]
Esse intervalo descreve uma das folhas (a do primeiro quadrante).

Passo 3

Escrever a integral de área para a folha no primeiro quadrante:
A =tfrac12integral0^pi/2r^2,dtheta =tfrac12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/2 =-tfrac12l(cospi-cos0r) =-tfrac12l(-1-1r) =;1
Logo,
A =tfrac12times1 =tfrac12

Resposta

A área da região sombreada (uma folha da lemniscata) é tfrac12.

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