5 Use a Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis para determinar d zd t, onde
z=e^x-2 y, x=cos t, y=t^3

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia em duas variáveis para calcular
dzdt
onde z=f(x,y)=e^,x-2y, x=x(t)=cos t e y=y(t)=t^3. Vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z=e^,x-2y. Como a derivada de e^u é e^ucdot u', temos
partial zpartial x = e^,x-2ycdotpartialpartial x(x-2y) = e^,x-2ycdot1 = e^,x-2y,
partial zpartial y = e^,x-2ycdotpartialpartial y(x-2y) = e^,x-2ycdot(-2) = -2,e^,x-2y

Passo 3

Derivamos x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt =ddt(cos t) =-sin t, dydt =ddt(t^3) =3t^2

Passo 4

Pela Regra da Cadeia para funções de duas variáveis,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo tudo,
dzdt = e^,x-2ycdot(-sin t) + l(-2,e^,x-2yr)cdot(3t^2) = e^,x-2yl(-sin t -6t^2r)
Por fim, voltamos a x=cos t e y=t^3:
dzdt = e^,cos t-2t^3,l(-sin t -6t^2r)

Resposta

dzdt = e^,cos t-2t^3,l(-sin t -6t^2r)

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