Encontre as assíntotas e esboce o gráfico da seguinte função:
f(x)=4x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função racional: $ f(x) = \frac{4}{x^2 - 4} $. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas dessa função e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas verticais e horizontais, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida (imaginou alguma divisão por zero? Não rola!).
Então, vamos resolver $ x^2 - 4 = 0 $:
x^2 - 4 = 0
Então, temos duas assíntotas verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando $ x $ vai para o infinito positivo ou negativo.
Observando $ f(x) = \frac{4}{x^2 - 4} $, conforme $ x $ fica bem grande (positivo ou negativo), o termo $ x^2 $ domina o -4, então a função fica parecendo $ \frac{4}{x^2} $, que se aproxima de 0.
Portanto, a assíntota horizontal é $ y = 0 $, que é o eixo x.

Passo 4

Com as assíntotas identificadas, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais: linhas verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
  • Assíntota horizontal: linha horizontal em $ y = 0 $.
A função vai se aproximar dessas linhas mas nunca as toca. Entre as assíntotas verticais, o gráfico vai estar abaixo do eixo x, e fora delas, acima do eixo x.

Resposta

As assíntotas da função $ f(x) = \frac{4}{x^2 - 4} $ são:
  • Verticais em $ x = 2 $ e $ x = -2 $
  • Horizontal em $ y = 0 $
E o gráfico se comporta conforme descrito nos passos anteriores.

Exercícios relacionados