3^a Questão: Seja a função
f(x)=lc tan 3 xx, & x<0 a x+b, & 0 <= x<2 x^2-4x^3-8, & x >= 2
Determine os valores de a e b para que f seja contínua em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)=tan3xx,&x<0ax+b,&0<= x<2x^2-4x^3-8,&x>=2
Queremos escolher a e b de modo que f seja contínua em todo o domínio, ou seja, em x=0 e x=2 os limites laterais devem coincidir com o valor da função.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=0, calculamos o limite à esquerda
limxto0^-tan3xx
Como para ângulos pequenos tan3xapprox3x, temos
limxto0^-tan3xx=3
E deve valer
b=f(0)=3
Logo, b=3.

Passo 3

Para garantir continuidade em x=2, comparamos o limite à esquerda e o limite à direita. À esquerda,
limxto2^-f(x)=limxto2^-(ax+b)=2a+b
À direita, simplificamos
x^2-4x^3-8=(x-2)(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)=x+2x^2+2x+4(xneq2)
Então
limxto2^+x^2-4x^3-8=2+22^2+2cdot2+4=412=13
Para continuidade,
2a+b=tfrac13.

Passo 4

Agora substituímos b=3 em 2a+b=tfrac13:
2a+3=tfrac13
2a=tfrac13-3=tfrac1-93=-tfrac83
a=-tfrac43

Resposta

a=-\tfrac{4}{3},\quad b=3

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