Sendo f(x)=x^3+3 x,
(o) determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa 0.
(i) Estude o sinal da função f^prime(x).
(ii) Calcule os limites da função quando x vai para +infty e-infty.
(iii) Esboce o gráfico desse polinômio, observando os intervalos de crescimento e decrescimento da função polinomial.

Passo 1

Temos a função polinomial f(x)=x³+3x. O conteúdo envolve derivada (para reta tangente e monotonicidade), limites no infinito e esboço de gráfico. Vamos precisar calcular f’(x), usar a fórmula da reta tangente, analisar o sinal de f’(x), calcular limites em ±∞ e desenhar o gráfico com concavidades e crescimento.

Passo 2

Calculamos a derivada:
f’(x)=3x²+3=3(x²+1).
No ponto de abscissa x=0 temos f(0)=0 e f’(0)=3. Usando a fórmula da reta tangente y−f(0)=f’(0)(x−0) obtemos
y=3x.

Passo 3

Para estudar o sinal de f’(x)=3(x²+1) note que x²+1>0 ∀x real, logo f’(x)>0 para todo x. Isso significa que f é estritamente crescente em ℝ.

Passo 4

Para os limites, como x³ domina quando |x|→∞, temos
limₓ→+∞ f(x)=+∞
e
limₓ→−∞ f(x)=−∞.

Passo 5

O esboço do gráfico é da típica cúbica crescente, com ponto de inflexão onde f’’(x)=6x=0 ⇒ x=0. Em x<0 a curva é côncava para baixo; em x>0, côncava para cima. O gráfico passa por (0,0) e tem reta tangente y=3x nesse ponto.

Resposta

A reta tangente em x=0 é y=3x; f’(x)=3(x²+1)>0 para todo x (função estritamente crescente); limₓ→+∞ f(x)=+∞ e limₓ→−∞ f(x)=−∞; o gráfico é uma cúbica crescente, com inflexão em (0,0), concavidade para baixo à esquerda e para cima à direita.

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