Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
h) f(x)=raizx^2+13 x-5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais da função f(x)=raizx^2+13x-5. O conteúdo envolve limites no infinito para encontrar retas horizontais que o gráfico se aproxima quando xtopminfty. Vamos usar propriedades de limites e identificar termos dominantes em x.

Passo 2

Para xto+infty, a ideia é comparar as ordens de grandeza de numerador e denominador. Primeiro, note que
raizx^2+1=|x|raiz1+1x^2
Como xto+infty, temos |x|=x. Então
$$
f(x)=\frac{\sqrt{x{2}+1}}{3x-5}=\frac{x\sqrt{1+\tfrac{1}{x{2}}}}{3x\bigl(1-\tfrac{5}{3x}\bigr)}=\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{3\bigl(1-\tfrac{5}{3x}\bigr)}.
f(x)=raizx^2+13x-5=xraiz1+tfrac1x^23xl(1-tfrac53xr)=raiz1+tfrac1x^23l(1-tfrac53xr) \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{3}.$$

Passo 3

Para xto-infty, recomeçamos de
$$\sqrt{x{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x{2}}}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}},
raizx^2+1=|x|raiz1+1x^2=-xraiz1+1x^2, áé
f(x)=\frac{-x\sqrt{1+\tfrac{1}{x{2}}}}{3x\bigl(1-\tfrac{5}{3x}\bigr)}=\frac{-\sqrt{1+\tfrac{1}{x{2}}}}{3\bigl(1-\tfrac{5}{3x}\bigr)}
|x|=-x\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{1}{3}.$$

Resposta

As assíntotas horizontais são y=tfrac13 e y=-tfrac13.

Exercícios relacionados