Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
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Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a parada aqui! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais da função $ f(x) = \cot(x) $, se é que existem. Então, vamos falar sobre o que são assíntotas horizontais e como a gente pode determinar se a função tem alguma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota horizontal. Basicamente, uma assíntota horizontal é uma linha reta que a função se aproxima quando $ x $ vai para o infinito positivo ou negativo. Em termos matemáticos, a gente olha para os limites da função quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $:
Se esses limites existirem e forem números reais, esses números são as coordenadas das assíntotas horizontais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função $ f(x) = \cot(x) $. A função cotangente é definida como:
Sabemos que $ \sin(x) $ e $ \cos(x) $ são funções periódicas com período $ 2\pi $, o que significa que elas se repetem a cada $ 2\pi $ unidades. Além disso, essas funções oscilam entre -1 e 1.
Passo 4
Vamos tentar calcular os limites:
Mas aqui está o pepino: como $ \sin(x) $ e $ \cos(x) $ nunca param de oscilar e não se aproximam de nenhum valor fixo quando $ x $ vai para $ \pm\infty $, o quociente $ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} $ também não se aproxima de nenhum número específico. Ele continua variando entre $ -\infty $ e $ +\infty $ de forma periódica.
Passo 5
Como os limites não existem (já que a função não está se aproximando de nenhum valor específico), concluímos que a função $ f(x) = \cot(x) $ não possui assíntotas horizontais.
Resposta
A função $ f(x) = \cot(x) $ não possui assíntotas horizontais.