Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}-x}
e, com isso, um esboço do gráfico.
Conteúdo: estudo de assimptotas e análise de sinais para esboço.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para facilitar:
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1),
x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).
Logo
f(x)=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x(x-1)(x+1)}.

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x+1), obtendo a forma simplificada válida para x\neq -1:
f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x(x-1)}.
Em x=-1 há um ponto de descontinuidade removível (buraco), pois originalmente o denominador zera ali.

Passo 4

As assimptotas verticais são as raízes do denominador após o cancelamento, ou seja, resolvemos
x(x-1)=0
que dá x=0 e x=1. São assimptotas verticais:
x=0,\quad x=1.

Passo 5

A assimptota horizontal vem da comparação de grau do numerador e do denominador originais: ambos têm grau 3 com coeficiente líder 1, logo y=1 é a assimptota horizontal.

Passo 6

Há um buraco em x=-1. Para achar sua ordenada, avaliamos a forma simplificada em x=-1:
f(-1)=\frac{(-1)^{2}-(-1)+1}{(-1)(-1-1)} =\frac{1+1+1}{(-1)(-2)} =\frac{3}{2}.
Portanto, o ponto \bigl(-1,\tfrac32\bigr) está excluído (buraco).

Passo 7

Para esboçar, analisamos o comportamento em cada intervalo determinado pelas verticais e o sinal de f. Resumo qualitativo:
  • Em x\to\pm\infty, f(x)\to1 (pela assimptota horizontal).
  • Em x\to0^-, f(x)\to+\infty; em x\to0^+, f(x)\to-\infty.
  • Em x\to1^-, f(x)\to-\infty; em x\to1^+, f(x)\to+\infty.
  • Em x\to-1^\pm, f(x)\to\tfrac32, mas com buraco em \bigl(-1,\tfrac32\bigr).
Com isso, desenha-se:
  1. Ramo em (-\infty,-1) aproximando-se de y=1 por cima e indo ao ponto \bigl(-1,\tfrac32\bigr).
  2. Ramo em (-1,0) bagunçado indo de \bigl(-1,\tfrac32\bigr) até +\infty em 0^-.
  3. Ramo em (0,1) que vai de -\infty em 0^+ até -\infty em 1^-.
  4. Ramo em (1,\infty) que sai de +\infty em 1^+ e tende a y=1 por cima.

Resposta

Assimptotas verticais: x=0, x=1.
Assimptota horizontal: y=1.
Ponto de descontinuidade removível (buraco) em \bigl(-1,\tfrac32\bigr).
Esboço conforme análise acima.

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