Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de
e, com isso, um esboço do gráfico.
Conteúdo: estudo de assimptotas e análise de sinais para esboço.
Conteúdo: estudo de assimptotas e análise de sinais para esboço.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador para facilitar:
Logo
Passo 3
Cancelamos o fator comum
, obtendo a forma simplificada válida para
:
Em
há um ponto de descontinuidade removível (buraco), pois originalmente o denominador zera ali.
Passo 4
As assimptotas verticais são as raízes do denominador após o cancelamento, ou seja, resolvemos
que dá
e
. São assimptotas verticais:
Passo 5
A assimptota horizontal vem da comparação de grau do numerador e do denominador originais: ambos têm grau 3 com coeficiente líder 1, logo
é a assimptota horizontal.
Passo 6
Há um buraco em
. Para achar sua ordenada, avaliamos a forma simplificada em
:
Portanto, o ponto
está excluído (buraco).
Passo 7
Para esboçar, analisamos o comportamento em cada intervalo determinado pelas verticais e o sinal de
. Resumo qualitativo:
- Em
, (pela assimptota horizontal). - Em
, ; em , . - Em
, ; em , . - Em
, , mas com buraco em .
Com isso, desenha-se:
- Ramo em
aproximando-se de por cima e indo ao ponto . - Ramo em
bagunçado indo de até em . - Ramo em
que vai de em até em . - Ramo em
que sai de em e tende a por cima.
Resposta
Assimptotas verticais:
,
.
Assimptota horizontal: .
Ponto de descontinuidade removível (buraco) em .
Esboço conforme análise acima.
Assimptota horizontal:
Ponto de descontinuidade removível (buraco) em
Esboço conforme análise acima.