Encontre \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) se
\frac{4 x-1}{x}<f(x)<\frac{4 x^{2}+3 x}{x^{2}}
para todo x>5.

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to+\infty}f(x) sabendo que, para todo x>5,
\frac{4x-1}{x}<f(x)<\frac{4x^2+3x}{x^2}.
O conteúdo principal aqui é o teorema do confronto (ou “teorema do sanduíche”), que diz que se duas funções que têm o mesmo limite cercam f(x), então f(x) tem esse limite também.

Passo 2

Simplificamos a função do limite inferior:
\frac{4x-1}{x}=4-\frac{1}{x}.
Como \frac{1}{x}\to0 quando x\to+\infty, segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x-1}{x} =\lim_{x\to+\infty}\Bigl(4-\frac{1}{x}\Bigr)=4.

Passo 3

Agora simplificamos a função do limite superior:
\frac{4x^2+3x}{x^2}=4+\frac{3}{x}.
Como \frac{3}{x}\to0 quando x\to+\infty, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2+3x}{x^2} =\lim_{x\to+\infty}\Bigl(4+\frac{3}{x}\Bigr)=4.

Passo 4

Pelo teorema do confronto, como
\lim_{x\to+\infty}\frac{4x-1}{x}=4 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2+3x}{x^2}=4,
e para todo x>5 está valendo
\frac{4x-1}{x}<f(x)<\frac{4x^2+3x}{x^2},
concluímos que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=4.

Resposta

4

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