Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além de um esboço do gráfico.
Conteúdo: domínio e assíntotas (limites), derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, simetria e esboço.

Passo 2

Domínio e assíntotas verticais
O denominador \sqrt[4]{x^{4}+1} é sempre positivo (nunca zero), logo o domínio é \mathbb{R} e não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais.

Passo 3

Assíntotas horizontais
Calculemos os limites no infinito. Para x\to+\infty:
f(x) =\frac{x}{(x^4+1)^{1/4}} =\frac{x}{x\,(1+1/x^4)^{1/4}} =\frac{1}{(1+1/x^4)^{1/4}} \;\longrightarrow\;1.
Para x\to-\infty temos (x^4)^{1/4}=|x|=-x, então
f(x)\approx\frac{x}{-x}=-1.
Portanto as assíntotas horizontais são
y=1\quad(x\to+\infty), \qquad y=-1\quad(x\to-\infty).

Passo 4

Monotonicidade
Derivando por produto:
f'(x) =\bigl(x\,(x^4+1)^{-1/4}\bigr)' =(x^4+1)^{-1/4} +x\Bigl(-\tfrac14\Bigr)(x^4+1)^{-5/4}\cdot4x^3 =\frac{1}{(x^4+1)^{5/4}}.
Como (x^4+1)^{5/4}>0 para todo x, segue f'(x)>0: a curva é estritamente crescente em \mathbb{R}.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão
A segunda derivada é
f''(x) =\Bigl((x^4+1)^{-5/4}\Bigr)' =-\tfrac54\,(x^4+1)^{-9/4}\cdot4x^3 =-\frac{5\,x^3}{(x^4+1)^{9/4}}.
Logo f''(x)>0 se x<0 (côncava para cima à esquerda) e f''(x)<0 se x>0 (côncava para baixo à direita), com ponto de inflexão em x=0.

Passo 6

Esboço do gráfico
  • A curva é ímpar f(-x)=-f(x), passa por (0,0).
  • É estritamente crescente de y=-1 (quando x\to-\infty) até y=1 (quando x\to+\infty).
  • Fica sempre entre as retas horizontais y=-1 e y=1, aproximando-se delas (mas sem cruzar).
  • É côncava para cima quando x<0 e côncava para baixo quando x>0, mudando de concavidade em (0,0).

Resposta

Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.

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