Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além de um esboço do gráfico.
Conteúdo: domínio e assíntotas (limites), derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, simetria e esboço.
Conteúdo: domínio e assíntotas (limites), derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, simetria e esboço.
Passo 2
Domínio e assíntotas verticais
O denominador é sempre positivo (nunca zero), logo o domínio é
e não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais.
O denominador
Passo 3
Assíntotas horizontais
Calculemos os limites no infinito. Para :
Calculemos os limites no infinito. Para
Para
temos
, então
Portanto as assíntotas horizontais são
Passo 4
Monotonicidade
Derivando por produto:
Derivando por produto:
Como
para todo
, segue
: a curva é estritamente crescente em
.
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Logo
se
(côncava para cima à esquerda) e
se
(côncava para baixo à direita), com ponto de inflexão em
.
Passo 6
Esboço do gráfico
- A curva é ímpar
, passa por . - É estritamente crescente de
(quando ) até (quando ). - Fica sempre entre as retas horizontais
e , aproximando-se delas (mas sem cruzar). - É côncava para cima quando
e côncava para baixo quando , mudando de concavidade em .
Resposta
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: e
.
Assíntotas horizontais: