Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais de
e depois esboçar o gráfico. Para isso vamos precisar de fatoração para ver cancelamentos, estudar zeros do denominador (assíntotas verticais) e comparar graus do numerador e do denominador (para saber se há assíntota horizontal ou oblíqua). Em seguida faremos um esboço usando interceptos e comportamento nas vizinhanças das assíntotas.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador:
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Passo 3
Há cancelamento do fator
, indicando um ponto removível (um “buraco”) em
. O domínio exclui
e
. A única assíntota vertical vem de onde o denominador simplificado zera sem cancelamento, ou seja:
O ponto
não gera assíntota, mas um furo cuja ordenada é obtida na função simplificada (veja passo seguinte).
Passo 4
Depois de cancelar
, a função simplificada é
Comparando graus, o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, logo não há assíntota horizontal. Em vez disso temos assíntota oblíqua, obtida pela divisão polinomial:
Portanto a assíntota oblíqua é
O “buraco” em
fica em
ou seja, ponto removível em
.
Passo 5
Para guiar o esboço, determinamos interceptos:
- Intercepto em
: numerador dá e . O zero está cancelado, então só ficam e . - Intercepto em
: em já vimos que . - Comportamento perto de
: quando e quando . - Para
, a curva se aproxima de .
Passo 6
Esboço do gráfico (em linhas gerais):
- Marcar a assíntota vertical
e a oblíqua . - Desenhar o buraco em
. - Passar a curva por
e . - Seguir, à esquerda de
, a parte da reta e saltar para ao se aproximar de . - Para
, sair de e novamente acompanhar .
Resposta
Assíntota vertical:
.
Não há assíntota horizontal (grau do numerador maior que o do denominador).
Assíntota oblíqua: .
Buraco (ponto removível): .
Interceptos: e
.
Esboço conforme passo 6.
Não há assíntota horizontal (grau do numerador maior que o do denominador).
Assíntota oblíqua:
Buraco (ponto removível):
Interceptos:
Esboço conforme passo 6.