Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
y=\frac{x^{3}-x}{x^{2}-6 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais de
y = \frac{x^3 - x}{x^2 - 6x + 5}
e depois esboçar o gráfico. Para isso vamos precisar de fatoração para ver cancelamentos, estudar zeros do denominador (assíntotas verticais) e comparar graus do numerador e do denominador (para saber se há assíntota horizontal ou oblíqua). Em seguida faremos um esboço usando interceptos e comportamento nas vizinhanças das assíntotas.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1),
x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5).
Logo
y = \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-5)}.

Passo 3

Há cancelamento do fator x-1, indicando um ponto removível (um “buraco”) em x=1. O domínio exclui x=1 e x=5. A única assíntota vertical vem de onde o denominador simplificado zera sem cancelamento, ou seja:
x = 5.
O ponto x=1 não gera assíntota, mas um furo cuja ordenada é obtida na função simplificada (veja passo seguinte).

Passo 4

Depois de cancelar x-1, a função simplificada é
y = \frac{x(x+1)}{x-5}.
Comparando graus, o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, logo não há assíntota horizontal. Em vez disso temos assíntota oblíqua, obtida pela divisão polinomial:
\frac{x^2 + x}{x-5} = x + 6 + \frac{30}{x-5}.
Portanto a assíntota oblíqua é
y = x + 6.
O “buraco” em x=1 fica em
y(1) = \frac{1\cdot2}{1-5} = -\tfrac12,
ou seja, ponto removível em \bigl(1,-\tfrac12\bigr).

Passo 5

Para guiar o esboço, determinamos interceptos:
  • Intercepto em x: numerador x(x-1)(x+1)=0 x=0 e x=-1. O zero x=1 está cancelado, então só ficam (0,0) e (-1,0).
  • Intercepto em y: em x=0 já vimos que y=0.
  • Comportamento perto de x=5: y\to +\infty quando x\to5^+ e y\to -\infty quando x\to5^-.
  • Para x\to\pm\infty, a curva se aproxima de y=x+6.

Passo 6

Esboço do gráfico (em linhas gerais):
  1. Marcar a assíntota vertical x=5 e a oblíqua y=x+6.
  2. Desenhar o buraco em \bigl(1,-\tfrac12\bigr).
  3. Passar a curva por (-1,0) e (0,0).
  4. Seguir, à esquerda de x=5, a parte da reta y=x+6 e saltar para -\infty ao se aproximar de x=5^-.
  5. Para x>5, sair de +\infty e novamente acompanhar y=x+6.

Resposta

Assíntota vertical: x=5.
Não há assíntota horizontal (grau do numerador maior que o do denominador).
Assíntota oblíqua: y = x + 6.
Buraco (ponto removível): \bigl(1,-\tfrac12\bigr).
Interceptos: (-1,0) e (0,0).
Esboço conforme passo 6.

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