Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das funções dadas abaixo e faça um esboço do gráfico:
y=1+\frac{x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de
y = 1 + \frac{x+2}{x^2 - 4}
e um esboço do gráfico.
O conteúdo é estudo de funções racionais: análise de domínio, simplificação, assíntotas e forma de hipérbole deslocada.

Passo 2

Determinamos o domínio e simplificamos a expressão.
O denominador x^2-4\) anula-se em \(x=\pm2\), logo o domínio é \[\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2,\;x\neq 2\}.
Fatorando
\frac{x+2}{x^2-4} =\frac{x+2}{(x+2)(x-2)} =\begin{cases} \dfrac1{x-2},&x\neq -2,\\\ \text{indeterminado},&x=-2, \end{cases}
ou seja, para (x\neq -2,2] temos
y=1+\frac1{x-2}.

Passo 3

Assíntotas verticais vêm de zeros do denominador que não sejam cancelados.
Em x=2 o numerador (x+2) não é zero, portanto há assíntota vertical x=2.
Em x=-2 o fator (x+2) cancela, gerando uma descontinuidade removível (furo), não assíntota.

Passo 4

Assíntota horizontal é o limite quando x\to\pm\infty.
\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac{x+2}{x^2-4}\Bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac1{x-2}\Bigr) =1.
Logo a assíntota horizontal é y=1.

Passo 5

Para esboçar o gráfico reconhecemos
y-1=\frac1{x-2},
que é uma hipérbole com centro em (2,1).
Comportamento principal:
  • Para x\to2^+, \frac1{x-2}\to+\infty.
  • Para x\to2^-, \frac1{x-2}\to-\infty.
  • Para x\to\pm\infty, y\to1.
    Há um furo em x=-2; o valor limite ali é
\lim_{x\to-2}\Bigl(1+\frac1{x-2}\Bigr) =1+\frac1{-4} =\tfrac34,
portanto ponto não incluso \bigl(-2,\tfrac34\bigr).

Passo 6

Traçamos:
  • A reta vertical x=2.
  • A reta horizontal y=1.
  • A hipérbole em dois ramos, deslocada para o ponto (2,1), com furo em \bigl(-2,\tfrac34\bigr).

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntota horizontal: y=1
Furo removível em \bigl(-2,\tfrac34\bigr)
O gráfico é a hipérbole dada por y-1=1/(x-2) com esses elementos.

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