Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem, das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Perguntas que devemos responder:
- Quais são as assíntotas verticais (se existirem)?
- Quais são as assíntotas horizontais (se existirem)?
Passo 2
Primeiro passo prático: identificar o domínio e os possíveis pontos problemáticos (onde o denominador é zero). Vamos fatorar o denominador e o numerador para ver se aparecem cancelamentos (buracos) ou zeros que geram assíntotas.
Fatorando o denominador:
Fatorando o numerador usando soma de cubos:
Passo 3
Análise dos fatores para encontrar pontos onde a função não está definida:
- O denominador
zera quando ou quando . - A equação
não tem soluções reais (porque não tem solução real).
Logo, o único zero real do denominador é.
Verificar se há cancelamento com o numerador (o que criaria um buraco em vez de assíntota): os fatores do numerador são
e
. Nenhum desses fatores é igual a
nem a
. Portanto não há cancelamento com
. Conclusão: em
a função realmente não está definida e não há cancelamento — candidato a assíntota vertical.
Passo 4
Para confirmar que
é uma assíntota vertical, calculamos os limites laterais da função quando
se aproxima de
.
Observação útil: perto de
o numerador tende para
e o denominador tende para
portanto a razão tende para infinito com sinal dependente do sinal de
.
Cálculo dos limites laterais:
- Para
: o fator é positivo e , logo o denominador é positivo pequeno; o numerador tende a . Assim
- Para
: o fator é negativo e , logo o denominador é negativo pequeno; o numerador tende a . Assim
Como pelo menos uma das duas aproximações laterais diverge para infinito (aqui são
e
), isso confirma que
é uma assíntota vertical.
Passo 5
Agora procuramos assíntotas horizontais: são os limites da função quando
e
.
Regra prática (que vou justificar): quando se tem uma razão de polinômios
com
, o limite em infinito é o quociente dos coeficientes líderes. Aqui
e os coeficientes líderes são ambos
. Vamos calcular formalmente dividindo numerador e denominador por
.
Para
ou
:
Quando
os termos
e
tendem a
. Assim
e
Portanto a reta
é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.
Passo 6
Resumo das conclusões e observações finais didáticas:
- Há exatamente uma assíntota vertical em
(porque o denominador zera em sem cancelamento com o numerador), com comportamentos laterais e . - Como grau dos polinômios do numerador e denominador é igual e os coeficientes líderes são iguais, a assíntota horizontal é
. Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas.