Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem, das funções abaixo.
g(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
g(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma razão de polinômios: numerador x^{3}+1 e denominador x^{3}+x.
  • Perguntas que devemos responder:
    • Quais são as assíntotas verticais (se existirem)?
    • Quais são as assíntotas horizontais (se existirem)?

Passo 2

Primeiro passo prático: identificar o domínio e os possíveis pontos problemáticos (onde o denominador é zero). Vamos fatorar o denominador e o numerador para ver se aparecem cancelamentos (buracos) ou zeros que geram assíntotas.
Fatorando o denominador:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Fatorando o numerador usando soma de cubos:
x^{3}+1 = (x+1)\,(x^{2}-x+1).

Passo 3

Análise dos fatores para encontrar pontos onde a função não está definida:
  • O denominador x\,(x^{2}+1) zera quando x=0 ou quando x^{2}+1=0.
  • A equação x^{2}+1=0 não tem soluções reais (porque x^{2}=-1 não tem solução real).
    Logo, o único zero real do denominador é x=0.
Verificar se há cancelamento com o numerador (o que criaria um buraco em vez de assíntota): os fatores do numerador são x+1 e x^{2}-x+1. Nenhum desses fatores é igual a x nem a x^{2}+1. Portanto não há cancelamento com x. Conclusão: em x=0 a função realmente não está definida e não há cancelamento — candidato a assíntota vertical.

Passo 4

Para confirmar que x=0 é uma assíntota vertical, calculamos os limites laterais da função quando x se aproxima de 0.
Observação útil: perto de x=0 o numerador tende para
\lim_{x\to 0}(x^{3}+1)=1,
e o denominador tende para
\lim_{x\to 0}x\,(x^{2}+1)=0,
portanto a razão tende para infinito com sinal dependente do sinal de x.
Cálculo dos limites laterais:
  • Para x\to 0^{+}: o fator x é positivo e x^{2}+1>0, logo o denominador é positivo pequeno; o numerador tende a 1>0. Assim
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x^{3}+1}{x^{3}+x} = +\infty.
  • Para x\to 0^{-}: o fator x é negativo e x^{2}+1>0, logo o denominador é negativo pequeno; o numerador tende a 1>0. Assim
\lim_{x\to 0^{-}} \frac{x^{3}+1}{x^{3}+x} = -\infty.
Como pelo menos uma das duas aproximações laterais diverge para infinito (aqui são +\infty e -\infty), isso confirma que x=0 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Agora procuramos assíntotas horizontais: são os limites da função quando x\to +\infty e x\to -\infty.
Regra prática (que vou justificar): quando se tem uma razão de polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P=\deg Q, o limite em infinito é o quociente dos coeficientes líderes. Aqui \deg(\text{numerador})=\deg(\text{denominador})=3 e os coeficientes líderes são ambos 1. Vamos calcular formalmente dividindo numerador e denominador por x^{3}.
Para x\to +\infty ou x\to -\infty:
\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x} = \frac{1+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Quando |x|\to\infty os termos \dfrac{1}{x^{3}} e \dfrac{1}{x^{2}} tendem a 0. Assim
\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x} = \frac{1+0}{1+0} = 1,
e
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{3}+x} = \frac{1+0}{1+0} = 1.
Portanto a reta y=1 é assíntota horizontal tanto à direita quanto à esquerda.

Passo 6

Resumo das conclusões e observações finais didáticas:
  • Há exatamente uma assíntota vertical em x=0 (porque o denominador zera em 0 sem cancelamento com o numerador), com comportamentos laterais \lim_{x\to 0^{+}}g(x)=+\infty e \lim_{x\to 0^{-}}g(x)=-\infty.
  • Como grau dos polinômios do numerador e denominador é igual e os coeficientes líderes são iguais, a assíntota horizontal é y=1. Não há outras assíntotas horizontais nem oblíquas.

Resposta

\text{Assíntota vertical: } x=0í\n
\text{Assíntota horizontal: } y=1í

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