Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem, das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
Informações dadas:
- A expressão analítica de
é . - Precisamos determinar: (i) as possíveis assíntotas verticais (valores de
onde tende a ) e (ii) as assíntotas horizontais (valores de que tende quando ).
Passo 2
Determinar o domínio e os pontos em que o denominador se anula (candidatos a assíntotas verticais).
O denominador é
. Resolver
:
Logo,
e
não estão no domínio; são pontos a investigar como possíveis assíntotas verticais.
Passo 3
Relembrando intuitivamente o que é assíntota vertical: se ao nos aproximarmos de um ponto
(pela direita ou pela esquerda) a função cresce sem limite em módulo, isto é
então
é uma assíntota vertical. Vamos testar
e
.
Escrevemos o denominador fatorado:
então
Passo 4
Analisar o comportamento perto de
.
Para
próximo de
podemos colocar
com
. Então
e o numerador tende a
. Portanto, para
pequeno a expressão principal do crescimento é dada por
Assim:
- Se
(ou seja, ), temos e . - Se
(ou seja, ), temos e .
Portanto em
há de fato uma assíntota vertical, com
Passo 5
Analisar o comportamento perto de
.
Para
próximo de
colocamos
com
. Então
e o numerador tende a
. Uma forma análoga dá
Assim:
- Se
(ou seja, ), temos e . - Se
(ou seja, ), temos e .
Portanto em
também há uma assíntota vertical, com
Passo 6
Agora achar a assíntota horizontal. Definição prática: se existir um número
tal que
então
é assíntota horizontal. Para funções racionais, quando os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Aqui os polinômios do numerador e do denominador têm mesmo grau
e os coeficientes de
são ambos
. Portanto a assíntota horizontal candidata é
Passo 7
Verificação do limite para
(modo algébrico limpo):
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
, e o comportamento quando
é preservado):
Ao fazer
temos
e
. Assim
Logo
é de fato a assíntota horizontal.
Observação útil (para a prova): uma identidade simples que ajuda a entender o sinal é
obtida ao subtrair
e combinar frações. Dessa relação segue que para
(ou seja fora dos buracos verticais) tem-se
e então
(a função se aproxima de
vindo de cima); isso confirma a aproximação à assíntota horizontal.
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal: