2^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Resolva as equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=-\frac{5 x+4 y}{4 x-8 y^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x} = -\frac{5x+4y}{4x-8y^{3}}
e pede para resolver (ou seja, encontrar a família geral de soluções). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y em função de x.
  • A equação pode ser escrita na forma diferencial total
(5x+4y)\,dx + (4x-8y^{3})\,dy = 0.
  • Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos escolher um método e testar opções simples antes de começar a integrar.
Teste rápido de separabilidade: para ser separável precisaria reescrever como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aqui os termos misturam x e y de modo que não dá para separar em funções puras de x e de y. Então NÃO é separável.
Teste de linearidade em y: uma ODE da forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x) é linear; aqui aparece y^{3} no denominador, então não é linear.
Teste de exatidão (boa pista): escrevendo
M(x,y) = 5x+4y,\qquad N(x,y)=4x-8y^{3},
a equação tem a forma M\,dx + N\,dy = 0. A condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4.
Como as duas derivadas parciais coincidem, a equação é exata. Portanto usaremos o método das equações exatas.
Breve aula sobre equações exatas (passo didático): uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
A solução geral é então \Phi(x,y)=C, onde C é constante. Para encontrar \Phi integra-se M em x (tratando y como constante) e ajusta-se com uma função de y; em seguida determina-se essa função usando a segunda igualdade.

Passo 3

Construção da função potencial \Phi(x,y).
  1. Integramos M(x,y)=5x+4y em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (5x+4y)\,dx = \int 5x\,dx + \int 4y\,dx = \frac{5}{2}x^{2} + 4xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a “constante de integração” pode depender de y).
  1. Agora impomos que \partial\Phi/\partial y = N(x,y)=4x-8y^{3}. Calculemos \partial\Phi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5}{2}x^{2} + 4xy + h(y)\right) = 4x + h'(y).
Igualando a N(x,y) obtemos
4x + h'(y) = 4x - 8y^{3}.
Assim
h'(y) = -8y^{3}.
  1. Integramos h'(y) em y:
h(y)=\int -8y^{3}\,dy = -8\cdot\frac{y^{4}}{4} = -2y^{4} + C_{0},
onde C_{0} é constante. Podemos incorporar C_{0} depois na constante geral da solução.
  1. Substituindo h(y) em \Phi, a função potencial fica
\Phi(x,y)=\frac{5}{2}x^{2} + 4xy - 2y^{4}.
Portanto a solução implícita geral é
\frac{5}{2}x^{2} + 4xy - 2y^{4} = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Verificação rápida (boa prática didática): derivando implicitamente \Phi(x,y)=C obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0
ou seja
(5x+4y) + (4x-8y^{3})\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx} surge exatamente
\frac{dy}{dx} = -\frac{5x+4y}{4x-8y^{3}},
o que confere que a solução implícita encontrada está correta.
Observação sobre domínio: a solução só faz sentido em regiões onde o denominador original não zera, isto é onde 4x-8y^{3}\neq 0. Também é usual acrescentar que a constante C absorve qualquer constante de integração.

Resposta

\frac{5}{2}x^{2} + 4xy - 2y^{4} = C

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