e pede para resolver (ou seja, encontrar a família geral de soluções). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A incógnita é y em função de x.
A equação pode ser escrita na forma diferencial total
(5x+4y)\,dx + (4x-8y^{3})\,dy = 0.
Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos escolher um método e testar opções simples antes de começar a integrar.
Teste rápido de separabilidade: para ser separável precisaria reescrever como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Aqui os termos misturam x e y de modo que não dá para separar em funções puras de x e de y. Então NÃO é separável.
Teste de linearidade em y: uma ODE da forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x) é linear; aqui aparece y^{3} no denominador, então não é linear.
Teste de exatidão (boa pista): escrevendo
M(x,y) = 5x+4y,\qquad N(x,y)=4x-8y^{3},
a equação tem a forma M\,dx + N\,dy = 0. A condição de exatidão é
A solução geral é então \Phi(x,y)=C, onde C é constante. Para encontrar \Phi integra-se M em x (tratando y como constante) e ajusta-se com uma função de y; em seguida determina-se essa função usando a segunda igualdade.
Passo 3
Construção da função potencial \Phi(x,y).
Integramos M(x,y)=5x+4y em relação a x, tratando y como constante:
o que confere que a solução implícita encontrada está correta.
Observação sobre domínio: a solução só faz sentido em regiões onde o denominador original não zera, isto é onde 4x-8y^{3}\neq 0. Também é usual acrescentar que a constante C absorve qualquer constante de integração.