Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por
T(x, y, z)=(x, 2 y+3 z,-3 y+2 z) .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar os autovalores (eigenvalues) e os autoespaços (eigenspaces) relacionados da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (x,\;2y+3z,\;-3y+2z).
Informações dadas (tudo que está no enunciado):
  • A transformação é definida coordenada a coordenada: a primeira coordenada de T(x,y,z) é x; a segunda é 2y+3z; a terceira é -3y+2z.
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.

Passo 2

Representar T na base canônica e escrever a matriz associada.
Explicação rápida: para achar autovalores e autoespaços é conveniente trabalhar com a matriz da transformação na base padrão. A matriz A é formada aplicando T aos vetores da base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) e colocando os resultados como colunas.
Calculemos:
  • T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,0).
  • T(e_2)=T(0,1,0)=(0,2,-3).
  • T(e_3)=T(0,0,1)=(0,3,2).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e método: o que significa encontrar autovalores e autoespaços? Como fazemos?
Breve aula: um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que A v = \lambda v. O conjunto de todos os vetores v que satisfazem A v = \lambda v, junto com o vetor nulo, é o autoespaço associado a \lambda; em símbolos,
E_{\lambda} = \{v\in\mathbb{R}^3 \mid (A-\lambda I)v=0\}.
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
e resolvemos essa equação para \lambda. Cada raiz \lambda é um autovalor; para cada uma resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter o autoespaço.
Dica prática: se a matriz tem bloco triangular ou bloco em bloco (como aqui, a primeira linha/coluna separada), frequentemente o determinante se fatoriza facilmente.

Passo 4

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Escrevemos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2-\lambda & 3\\[4pt] 0 & -3 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante de uma matriz triangular em blocos, observe que a primeira linha/coluna está isolada: o determinante é
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt]-3 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calcule o determinante do 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 3\\[4pt]-3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(2-\lambda) - (3)(-3).
Use a regra ad-bc para 2\times2. Então
(2-\lambda)^2 - (3)(-3) = (2-\lambda)^2 + 9.
Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\bigl((2-\lambda)^2 + 9\bigr).]

Passo 5

Encontrar as raízes do polinômio característico (os autovalores).
Temos o produto igual a zero, então ou 1-\lambda=0 ou (2-\lambda)^2 +9 = 0.
  • Da primeira equação vem imediatamente \lambda = 1.
  • Da segunda:
(2-\lambda)^2 +9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2-\lambda)^2 = -9.
Como o quadrado de um número real nunca é negativo, essa equação não tem soluções reais. Resolvendo sobre os complexos obtemos
2-\lambda = \pm 3i \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2 \mp 3i,
ou seja \lambda=2+3i e \lambda=2-3i.
Interpretação prática: sobre \mathbb{R}^3 há apenas um autovalor real, \lambda=1. Os outros dois autovalores são complexos conjugados; isso significa que não existem autovetores reais associados a eles (qualquer autovetor correspondente seria necessariamente complexo).

Passo 6

Encontrar o autoespaço associado a [\lambda=1) resolvendo (A-I)v=0.
Escrevemos A-I:
A-I = \begin{pmatrix} 1-1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2-1 & 3\\[4pt] 0 & -3 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos todos os vetores v=(x,y,z)^T tais que (A-I)v=0. Isso dá o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 3\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x -3\cdot y + 1\cdot z = 0. \end{cases}
A primeira equação é (0=0] (sem informação). As duas outras são:
\begin{aligned} y + 3z &= 0,\\[4pt] -3y + z &= 0. \end{aligned}
Vamos resolver esse sistema para y e z. Da primeira obtém-se
y = -3z.
Substituindo na segunda:
-3(-3z) + z = 9z + z = 10z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.
Com z=0 vem y=-3\cdot0=0. Não há restrição sobre x (porque a primeira linha era nula), então x é livre.
Logo os vetores do autoespaço têm a forma
v = (x,0,0) = x(1,0,0),\quad x\in\mathbb{R}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda=1 é o subespaço gerado por (1,0,0); tem dimensão 1.]

Passo 7

Comentário sobre os autovalores complexos e interpretação geométrica (aula curta e encorajadora).
  • Os autovalores \lambda=2\pm 3i são complexos. Sobre \mathbb{R}^3 não existem autovetores reais correspondentes a esses autovalores (qualquer autovetor teria componentes complexas). É comum em matrizes que contêm blocos 2\times2 como \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&2\end{pmatrix} aparecerem pares de autovalores complexos conjugados; esse bloco representa, em termos geométricos, uma combinação de rotação e dilatação no plano gerado por e_2,e_3.
  • Para a prova: se o enunciado pede autovalores e autoespaços em \mathbb{R}^3, reporte os autovalores reais e os autoespaços reais. Se for permitido trabalhar em \mathbb{C}^3, então pode-se também calcular autovetores complexos para \lambda=2\pm3i, resolvendo (A-(2\pm3i)I)v=0 no espaço complexo.
Força aí — essa questão é bem padrão: reconhecer a estrutura em blocos e ver que somente \lambda=1 dá autoespaço real não-trivial.

Resposta

\lambda=1,\;E_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}
\lambda=2+3i e \lambda=2-3i (autovalores complexos; não possuem autovetores reais em \mathbb{R}^3).

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