Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo: T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por
T(x, y, z)=(x, 2 y+3 z,-3 y+2 z) .
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar os autovalores (eigenvalues) e os autoespaços (eigenspaces) relacionados da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (x,\;2y+3z,\;-3y+2z).
Informações dadas (tudo que está no enunciado):
A transformação é definida coordenada a coordenada: a primeira coordenada de T(x,y,z) é x; a segunda é 2y+3z; a terceira é -3y+2z.
O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3.
Passo 2
Representar T na base canônica e escrever a matriz associada.
Explicação rápida: para achar autovalores e autoespaços é conveniente trabalhar com a matriz da transformação na base padrão. A matriz A é formada aplicando T aos vetores da base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) e colocando os resultados como colunas.
Definição e método: o que significa encontrar autovalores e autoespaços? Como fazemos?
Breve aula: um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que A v = \lambda v. O conjunto de todos os vetores v que satisfazem A v = \lambda v, junto com o vetor nulo, é o autoespaço associado a \lambda; em símbolos,
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0,
e resolvemos essa equação para \lambda. Cada raiz \lambda é um autovalor; para cada uma resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter o autoespaço.
Dica prática: se a matriz tem bloco triangular ou bloco em bloco (como aqui, a primeira linha/coluna separada), frequentemente o determinante se fatoriza facilmente.
Passo 4
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Interpretação prática: sobre \mathbb{R}^3 há apenas um autovalor real, \lambda=1. Os outros dois autovalores são complexos conjugados; isso significa que não existem autovetores reais associados a eles (qualquer autovetor correspondente seria necessariamente complexo).
Passo 6
Encontrar o autoespaço associado a [\lambda=1) resolvendo (A-I)v=0.
Queremos todos os vetores v=(x,y,z)^T tais que (A-I)v=0. Isso dá o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y + 3\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x -3\cdot y + 1\cdot z = 0. \end{cases}
A primeira equação é (0=0] (sem informação). As duas outras são: \begin{aligned} y + 3z &= 0,\\[4pt] -3y + z &= 0. \end{aligned}
Vamos resolver esse sistema para y e z. Da primeira obtém-se
y = -3z.
Substituindo na segunda:
-3(-3z) + z = 9z + z = 10z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z=0.
Com z=0 vem y=-3\cdot0=0. Não há restrição sobre x (porque a primeira linha era nula), então x é livre.
Logo os vetores do autoespaço têm a forma
v = (x,0,0) = x(1,0,0),\quad x\in\mathbb{R}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda=1 é o subespaço gerado por (1,0,0); tem dimensão 1.]
Passo 7
Comentário sobre os autovalores complexos e interpretação geométrica (aula curta e encorajadora).
Os autovalores \lambda=2\pm 3i são complexos. Sobre \mathbb{R}^3 não existem autovetores reais correspondentes a esses autovalores (qualquer autovetor teria componentes complexas). É comum em matrizes que contêm blocos 2\times2 como \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&2\end{pmatrix} aparecerem pares de autovalores complexos conjugados; esse bloco representa, em termos geométricos, uma combinação de rotação e dilatação no plano gerado por e_2,e_3.
Para a prova: se o enunciado pede autovalores e autoespaços em \mathbb{R}^3, reporte os autovalores reais e os autoespaços reais. Se for permitido trabalhar em \mathbb{C}^3, então pode-se também calcular autovetores complexos para \lambda=2\pm3i, resolvendo (A-(2\pm3i)I)v=0 no espaço complexo.
Força aí — essa questão é bem padrão: reconhecer a estrutura em blocos e ver que somente \lambda=1 dá autoespaço real não-trivial.
Resposta
\lambda=1,\;E_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\} \lambda=2+3i e \lambda=2-3i (autovalores complexos; não possuem autovetores reais em \mathbb{R}^3).