Encontre os autovalores de cada matriz abaixo e os autoespaços relacionados de L_{A} :
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\ -1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede encontrar os autovalores da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}
e os autoespaços relacionados ao operador linear L_A (ou seja, os espaços próprios associados a cada autovalor). Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas a_{11}=1, a_{12}=1, a_{21}=-1, a_{22}=3.
  • Precisa-se:
    • Encontrar todos os valores \lambda tais que exista vetor não nulo v com Av=\lambda v.
    • Para cada \lambda achado, descrever o conjunto de vetores v que satisfazem Av=\lambda v (o autoespaço), tipicamente dando uma base e a dimensão.]

Passo 2

Lembrete e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Definição: um número \lambda é autovalor de A se existir vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
  • Isso é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2.
  • Para existir solução não nula de (A-\lambda I)v=0 é necessário e suficiente que
\det(A-\lambda I)=0.
  • Para matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
então aplicaremos isso a A-\lambda I.

Passo 3

Escrevo a matriz A-\lambda I explicitamente:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o polinômio característico \det(A-\lambda I):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)- (1)(-1).
Observe que o termo subtraído é 1\cdot(-1)=-1, então ao subtrair vem mais +1. Desenvolvendo:
(1-\lambda)(3-\lambda)+1.
Faço a expansão passo a passo:
(1-\lambda)(3-\lambda)=3 -\lambda -3\lambda +\lambda^{2}=3-4\lambda+\lambda^{2}.
Somando +1 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-4\lambda+4.
Reconhece-se um quadrado perfeito:
\lambda^{2}-4\lambda+4=(\lambda-2)^{2}.

Passo 5

Das contas anteriores, o polinômio característico é (\lambda-2)^{2}. Portanto o único autovalor é
\lambda=2,
com multiplicidade algébrica 2 (ou seja, raiz dupla do polinômio característico). Agora precisamos achar o autoespaço associado a \lambda=2.

Passo 6

Para o autovalor \lambda=2\) resolvemos \((A-2I)v=0\). Calculo \(A-2I\): \[A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & 1\\[4pt]-1 & 3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Chamando v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 equivale a
\begin{cases} -1\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] -1\cdot x + 1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas; portanto temos apenas a equação única
-y + x = 0\quad\text{ou}\quad -x+y=0.
Isolando, obtemos
y=x.
Logo todos os vetores próprios associados a \lambda=2\] têm a forma \[v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad x\in\mathbb{R},\\ x\neq 0\\ \text{(para vetores próprios não nulos)}.\] Portanto o autoespaço é a reta gerada por \(\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação final do autoespaço e das multiplicidades:
  • O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas o espaço próprio tem dimensão 1 (porque encontramos apenas uma direção de vetores próprios). Ou seja, multiplicidade geométrica é 1.
  • Uma base do autoespaço correspondente é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Resposta

Autovalor: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Autoespaço associado: \mathrm{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\} (dimensão 1).]

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