Encontre os autovalores de cada matriz abaixo e os autoespaços relacionados de
:
Passo 1
O enunciado pede encontrar os autovalores da matriz
e os autoespaços relacionados ao operador linear
(ou seja, os espaços próprios associados a cada autovalor). Informações relevantes dadas:
- A matriz
é com entradas , , , . - Precisa-se:
- Encontrar todos os valores
tais que exista vetor não nulo com . - Para cada
achado, descrever o conjunto de vetores que satisfazem (o autoespaço), tipicamente dando uma base e a dimensão.]
- Encontrar todos os valores
Passo 2
Lembrete e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Definição: um número
é autovalor de se existir vetor não nulo tal que
- Isso é equivalente a
onde
é a matriz identidade
.
- Para existir solução não nula de
é necessário e suficiente que
- Para matriz
então aplicaremos isso a
.
Passo 3
Escrevo a matriz
explicitamente:
Passo 4
Calculo o polinômio característico
:
Observe que o termo subtraído é
, então ao subtrair vem mais
. Desenvolvendo:
Faço a expansão passo a passo:
Somando
obtemos
Reconhece-se um quadrado perfeito:
Passo 5
Das contas anteriores, o polinômio característico é
. Portanto o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
(ou seja, raiz dupla do polinômio característico). Agora precisamos achar o autoespaço associado a
.
Passo 6
Para o autovalor
Chamando
, o sistema
equivale a
As duas equações são idênticas; portanto temos apenas a equação única
Isolando, obtemos
Logo todos os vetores próprios associados a
.]
Passo 7
Interpretação final do autoespaço e das multiplicidades:
- O autovalor
tem multiplicidade algébrica , mas o espaço próprio tem dimensão (porque encontramos apenas uma direção de vetores próprios). Ou seja, multiplicidade geométrica é . - Uma base do autoespaço correspondente é
.]
Resposta
Autovalor:
(multiplicidade algébrica
).
Autoespaço associado:
(dimensão
).]