Encontre os autovalores e autoespaços relacionadas das transformações lineares abaixo:
, dada por
.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear
definida por
O que é pedido:
- Encontrar todos os autovalores (eigenvalues) de
. - Para cada autovalor, encontrar o autoespaço (espaço próprio, eigenspace) correspondente — isto é, o conjunto dos vetores não nulos
tais que .
Informações relevantes dadas:
- A regra explícita de
aplicada ao vetor . - Espaço ambiente é
com a base canônica implícita.
Passo 2
Primeiro passo prático: obter a matriz de
em relação à base canônica
.
- Calcular
. Isso será a primeira coluna da matriz. - Calcular
. Isso será a segunda coluna da matriz.
Portanto a matriz que representa
na base canônica é
Explicação rápida: a coluna
de
é
, porque multiplicando
por o vetor coordenadas de
reproduz a ação linear.]
Passo 3
Lembrete do que significa autovalor e autoespaço e como os encontramos:
- Um número
é autovalor de se existe vetor não nulo tal que
Na matriz
isso equivale a
- Para existirem vetores não nulos
satisfazendo , é necessário e suficiente que a matriz seja singular, isto é, que seu determinante seja zero:
- Para uma matriz
,
Usaremos isso para construir o polinômio característico e achar os autovalores.
Passo 4
Formar
e calcular o determinante passo a passo:
Usando
para
:
Calcule termo a termo:
e então
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolver a equação característica
:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. O discriminante é
Assim as raízes são
Denotando
que numericamente são aproximadamente
e
.
Passo 6
Agora, para cada autovalor
, encontramos o autoespaço resolvendo
. Começamos por
.
Matriz
:
Escrevendo o sistema linear
obtemos as equações
Da primeira equação temos
(A segunda equação será linearmente dependente da primeira porque
.) Como procuramos vetores não nulos, podemos escolher
(livre) e então
é um autovetor associado a
. Para evitar frações podemos multiplicar por
e escrever um vetor equivalente:
pois
.
O autoespaço correspondente é
ou seja, todas as múltiplas escalares desse vetor (um subespaço unidimensional).]
Passo 7
Repetir para
.
Matriz
e sistema levam à equação (análogo ao caso anterior)
Escolhendo
obtemos o autovetor
Calculando
, podemos multiplicar por
para evitar fração:
O autoespaço é
Passo 8
Resumo e verificação rápida:
- Obtivemos dois autovalores distintos reais
e . Como são distintos, os autoespaços associados têm dimensão cada e os autovetores correspondentes são linearmente independentes, o que é consistente com uma base de autovetores em (caso queira diagonalizar a matriz). - Cada autoespaço foi apresentado como o span de um autovetor explícito.