Encontrar todos os autovalores \lambda (números reais ou complexos) tais que exista vetor não-nulo \mathbf{v} com T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Para cada autovalor, determinar um(s) autovetor(es) associados.]
Passo 2
Lembrando a definição e o método prático:
Um autovalor \lambda e um autovetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0} satisfazem
T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Para encontrar os autovalores calcula-se o polinômio característico
\det(T-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. As raízes desse polinômio são os autovalores. Depois, para cada \lambda resolve-se o sistema linear homogêneo
(T-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}
para obter os autovetores (espaço nulo da matriz T-\lambda I).
Dica prática para esta matriz: observa-se que a terceira linha e terceira coluna são praticamente isoladas (elementos na terceira linha/coluna são zeros, exceto a diagonal), por isso a determinação do determinante se simplifica — veremos isso abaixo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(T-\lambda I).
Podemos então tomar a base ortonormal \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} dada acima se quisermos diagonalizar T por uma matriz ortogonal.]
Resposta
\lambda=1,\quad autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} (ex.: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix})\n
\lambda=-1,\quad autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} (ex.: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix})\n
\lambda=0,\quad autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} (ex.: \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix})]