Deve-se resolver para \lambda e vetores não-nulos v tais que (A-\lambda I)v=0.]
Passo 2
Conceito rápido e plano (sem tecnicismo pesado): um autovalor \lambda é um número tal que a matriz A-\lambda I não é inversível, isto é, tem determinante zero. Para achar \lambda calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I) e igualamos a zero. Depois, para cada \lambda achamos a solução não-trivial de (A-\lambda I)v=0 (o espaço nulo).
\begin{cases} -4x + z = 0,\\[4pt] -4y + w = 0,\\[4pt] 12x -3z = 0,\\[4pt] - y -6w = 0. \end{cases}
Da primeira e terceira equações vem z=4x\] (as duas são equivalentes). Da segunda vem \(w=4y. A quarta equação é -y-6w=0. Substituindo w=4y nessa quarta equação dá -y-6(4y)=0\Rightarrow -25y=0\Rightarrow y=0, daí w=0. Não há restrição sobre x, então x é parâmetro livre e z=4x.
Escolhendo x=1 obtemos um autovetor associado a \lambda=6:
\begin{cases} 3x + z = 0,\\[4pt] 3y + w = 0,\\[4pt] 12x + 4z = 0,\\[4pt] - y + w = 0. \end{cases}
Da primeira e terceira equações vem z=-3x\]. Da segunda vem \(w=-3y. A quarta dá w=y. Juntando w=-3y e w=y resulta y=0 e então w=0. Assim x livre e z=-3x.
Escolhendo x=1 obtemos um autovetor associado a \lambda=-1:
\begin{cases} x + z = 0,\\[4pt] y + w = 0,\\[4pt] 12x + 2z = 0,\\[4pt] - y - w = 0. \end{cases}
Da primeira equação z=-x\]. A terceira dá \(12x+2z=0\Rightarrow 6x+z=0\Rightarrow z=-6x. Igualando as duas expressões para z: -x=-6x\Rightarrow 5x=0\Rightarrow x=0. Então z=0. As equações para y,w são y+w=0 e -y-w=0, que são equivalentes; portanto w=-y com y livre.
Tomando y=1 obtemos um autovetor associado a \lambda=1:
Observação importante (didática e útil para prova): a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2, mas o espaço próprio encontrado tem dimensão 1 (só um vetor independente). Isso significa que a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica e, portanto, a matriz não é diagonalizável sobre o corpo considerado (a menos que se considere um espaço com vetores generalizados). Mas como a pergunta pediu apenas autovalores e autovetores, entregamos os vetores próprios encontrados.]