Mostre que as seguintes funções bilineares são produtos internos definidos no epaço vetorial
:
, para
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(matrizes
) e a forma bilinear
para
e
em
.
O que se pede: mostrar que essa forma é um produto interno em . Ou seja, verificar as propriedades que definem produto interno (assumindo que
é sobre
):
O que se pede: mostrar que essa forma é um produto interno em
- linearidade em cada argumento (bilinearidade),
- simetria
, - positividade definida:
e se e somente se é a matriz zero.
Passo 2
Lembrete das definições (para fixar):
- Linearidade em um argumento significa que, para escalares
e matrizes ,
Análogo para linearidade no segundo argumento.
- Simetria significa
. - Positividade definida significa que
para todo e que implica (a matriz nula).
Vamos verificar cada item explicitamente usando a expressão em termos das entradas.
Passo 3
Tomemos escalares
e matrizes
. Calculemos
As entradas da matriz
são
. Substituindo na definição:
Usando distributiva e comutatividade dos escalares:
Logo é linear no primeiro argumento.
Passo 4
Agora tomemos
e matrizes
. As mesmas contas, trocando os papéis, dão
pois cada termo é produto de entradas e a distributividade/comutatividade dos escalares vale da mesma forma. Portanto é linear também no segundo argumento. Concluímos que a forma é bilinear.
Passo 5
Calculemos
e
. Pela definição,
Como os produtos escalares são comutativos em
(ou seja
), segue imediatamente que
Portanto a forma é simétrica.
Passo 6
Calculemos
para
:
Cada termo
é maior ou igual a zero, portanto a soma é
. Além disso, a soma de quadrados é zero se e somente se cada quadrado é zero, isto é, se e somente se
. Isso significa exatamente que
é a matriz nula. Logo
para todo
e
implica
. Assim a forma é positiva definida.
Passo 7
Reunindo: a forma é bilinear (linear em cada argumento), simétrica e positiva definida. Portanto ela satisfaz todas as propriedades de um produto interno no espaço vetorial
(sobre
). Parabéns — acabamos de mostrar rigorosamente que essa é a versão matricial do produto interno usual (o produto interno de Frobenius), que corresponde a “somar o produto das entradas correspondentes”.
Resposta
A forma
é um produto interno em
.