Mostre que as seguintes funções bilineares são produtos internos definidos no epaço vetorial V :
V=M(2,2),\langle A, B\rangle=a_{11} b_{11}+a_{12} b_{12}+a_{21} b_{21}+ a_{22} b_{22}, para A=\left[a_{i j}\right] e B=\left[b_{i j}\right] em V.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M(2,2) (matrizes 2\times2) e a forma bilinear
\langle A,B\rangle = a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22},
para A=[a_{ij}] e B=[b_{ij}] em V.
O que se pede: mostrar que essa forma é um produto interno em V. Ou seja, verificar as propriedades que definem produto interno (assumindo que V é sobre \mathbb{R}):
  • linearidade em cada argumento (bilinearidade),
  • simetria \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle,
  • positividade definida: \langle A,A\rangle\ge 0 e \langle A,A\rangle=0 se e somente se A é a matriz zero.

Passo 2

Lembrete das definições (para fixar):
  • Linearidade em um argumento significa que, para escalares \alpha e matrizes A_1,A_2,B,
\langle \alpha A_1 + A_2, B\rangle = \alpha\langle A_1,B\rangle + \langle A_2,B\rangle.
Análogo para linearidade no segundo argumento.
  • Simetria significa \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
  • Positividade definida significa que \langle A,A\rangle\ge0 para todo A e que \langle A,A\rangle=0 implica A=0 (a matriz nula).
Vamos verificar cada item explicitamente usando a expressão em termos das entradas.

Passo 3

Tomemos escalares \alpha\in\mathbb{R} e matrizes A_1=[a^{(1)}_{ij}],A_2=[a^{(2)}_{ij}],B=[b_{ij}]. Calculemos
\langle \alpha A_1 + A_2, B\rangle.
As entradas da matriz \alpha A_1 + A_2 são \alpha a^{(1)}_{ij}+a^{(2)}_{ij}. Substituindo na definição:
\begin{aligned} \langle \alpha A_1 + A_2, B\rangle &= (\alpha a^{(1)}_{11}+a^{(2)}_{11})b_{11}+(\alpha a^{(1)}_{12}+a^{(2)}_{12})b_{12}\\\ &\quad+(\alpha a^{(1)}_{21}+a^{(2)}_{21})b_{21}+(\alpha a^{(1)}_{22}+a^{(2)}_{22})b_{22}. \end{aligned}
Usando distributiva e comutatividade dos escalares:
\begin{aligned} \langle \alpha A_1 + A_2, B\rangle &= \alpha\bigl(a^{(1)}_{11}b_{11}+a^{(1)}_{12}b_{12}+a^{(1)}_{21}b_{21}+a^{(1)}_{22}b_{22}\bigr)\\\ &\quad +\bigl(a^{(2)}_{11}b_{11}+a^{(2)}_{12}b_{12}+a^{(2)}_{21}b_{21}+a^{(2)}_{22}b_{22}\bigr)\\\ &= \alpha\langle A_1,B\rangle + \langle A_2,B\rangle. \end{aligned}
Logo é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Agora tomemos \beta\in\mathbb{R} e matrizes A,B_1,B_2. As mesmas contas, trocando os papéis, dão
\langle A, \beta B_1 + B_2\rangle = \beta\langle A,B_1\rangle + \langle A,B_2\rangle,
pois cada termo é produto de entradas e a distributividade/comutatividade dos escalares vale da mesma forma. Portanto é linear também no segundo argumento. Concluímos que a forma é bilinear.

Passo 5

Calculemos \langle A,B\rangle e \langle B,A\rangle. Pela definição,
\langle A,B\rangle = a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22},
\langle B,A\rangle = b_{11}a_{11}+b_{12}a_{12}+b_{21}a_{21}+b_{22}a_{22}.
Como os produtos escalares são comutativos em \mathbb{R} (ou seja a_{ij}b_{ij}=b_{ij}a_{ij}), segue imediatamente que
\langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle.
Portanto a forma é simétrica.

Passo 6

Calculemos \langle A,A\rangle para A=[a_{ij}]:
\langle A,A\rangle = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{21}^2 + a_{22}^2.
Cada termo a_{ij}^2 é maior ou igual a zero, portanto a soma é \ge 0. Além disso, a soma de quadrados é zero se e somente se cada quadrado é zero, isto é, se e somente se a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=0. Isso significa exatamente que A é a matriz nula. Logo \langle A,A\rangle\ge0 para todo A e \langle A,A\rangle=0 implica A=0. Assim a forma é positiva definida.

Passo 7

Reunindo: a forma é bilinear (linear em cada argumento), simétrica e positiva definida. Portanto ela satisfaz todas as propriedades de um produto interno no espaço vetorial V=M(2,2) (sobre \mathbb{R}). Parabéns — acabamos de mostrar rigorosamente que essa é a versão matricial do produto interno usual (o produto interno de Frobenius), que corresponde a “somar o produto das entradas correspondentes”.

Resposta

A forma \langle A,B\rangle=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22} é um produto interno em V=M(2,2).

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