Encontre os autovalores e autovetores da matriz:
B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e pede: encontrar os autovalores (valores próprios) e, para cada autovalor, um autovetor não nulo correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • Elementos da matriz: b_{11}=1, b_{12}=4, b_{21}=2, b_{22}=3.
  • O que devemos fornecer: todos os autovalores e, para cada autovalor, um autovetor (pode ser qualquer múltiplo não nulo do autovetor).]

Passo 2

O que é um autovalor e autovetor (curtinha e prática): um escalar \lambda é autovalor de B se existe um vetor não nulo v tal que
Bv=\lambda v.
Para encontrar os autovalores de uma matriz quadrada, usamos a equação característica
\det(B-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Vou aplicar isso a B-\lambda I.

Passo 3

Calcular a matriz B-\lambda I e o determinante:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 4\\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(B-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)-4\cdot 2.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3,
portanto
\det(B-\lambda I)=\lambda^2-4\lambda+3-8=\lambda^2-4\lambda-5.
A equação característica é
\lambda^2-4\lambda-5=0.]

Passo 4

Resolver a equação quadrática para obter os autovalores. Usando a fórmula quadrática \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} para a=1, b=-4, c=-5:
Calcular o discriminante:
\Delta=b^2-4ac = (-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36.
Logo as raízes são
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}.
Isso dá dois autovalores distintos:
\lambda_1=\frac{4+6}{2}=5, \qquad \lambda_2=\frac{4-6}{2}=-1.

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=5\). Devemos resolver \[(B-5I)v=0.
A matriz B-5I é
B-5I=\begin{pmatrix}1-5 & 4\\[4pt] 2 & 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema (B-5I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=0:
\begin{cases} -4x+4y=0,\\[4pt] 2x-2y=0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes e reduzem a
-4x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=x.
Logo os vetores da forma v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\], \(t\neq 0, são autovetores associados a \lambda_1=5. Um autovetor conveniente é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=-1\). Resolver \[(B-(-1)I)v=(B+I)v=0.
A matriz B+I é
B+I=\begin{pmatrix}1+1 & 4\\[4pt] 2 & 3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
O sistema (B+I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=0 é
\begin{cases} 2x+4y=0,\\[4pt] 2x+4y=0. \end{cases}
Da equação temos
2x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2y.
Escolhendo y=1\] (para um vetor simples), obtemos o autovetor \[v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] Qualquer múltiplo não nulo de \(v_2 também serve.]

Passo 7

Checagem rápida e comentário prático: os dois autovalores são distintos ( 5 e -1), portanto os autovetores correspondentes são linearmente independentes — isso significa que a matriz é diagonalizável sobre os reais. Se quiser, pode normalizar os autovetores (dividir pelo comprimento) para obter vetores unitários, mas não é obrigatório para a resposta.

Resposta

\lambda_1=5, autovetores: múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\lambda_2=-1, autovetores: múltiplos de \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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