Encontre os autovalores e autovetores da matriz:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede: encontrar os autovalores (valores próprios) e, para cada autovalor, um autovetor não nulo correspondente.
Informações relevantes dadas:
- Elementos da matriz:
, , , . - O que devemos fornecer: todos os autovalores e, para cada autovalor, um autovetor (pode ser qualquer múltiplo não nulo do autovetor).]
Passo 2
O que é um autovalor e autovetor (curtinha e prática): um escalar
é autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que
Para encontrar os autovalores de uma matriz quadrada, usamos a equação característica
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho. Para uma matriz
,
Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Calcular a matriz
e o determinante:
O determinante é
Desenvolvendo:
portanto
A equação característica é
Passo 4
Resolver a equação quadrática para obter os autovalores. Usando a fórmula quadrática
para
,
,
:
Calcular o discriminante:
Logo as raízes são
Isso dá dois autovalores distintos:
Passo 5
Encontrar um autovetor associado a
A matriz
é
Escrevendo o sistema
:
As duas equações são equivalentes e reduzem a
Logo os vetores da forma
, são autovetores associados a
. Um autovetor conveniente é
Passo 6
Encontrar um autovetor associado a
A matriz
é
O sistema
é
Da equação temos
Escolhendo
também serve.]
Passo 7
Checagem rápida e comentário prático: os dois autovalores são distintos (
e
), portanto os autovetores correspondentes são linearmente independentes — isso significa que a matriz é diagonalizável sobre os reais. Se quiser, pode normalizar os autovetores (dividir pelo comprimento) para obter vetores unitários, mas não é obrigatório para a resposta.