O enunciado dá explicitamente a matriz de T relativa às bases \alpha e \beta e pede duas coisas:
(a) determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} em forma explícita (ou seja, uma fórmula que, a um vetor (x,y), associe T(x,y)),
onde \alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base de \mathbb{R}^2) e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica de \mathbb{R}^3).]
Passo 2
Vou lembrar um fato essencial sobre representação matricial de uma transformação linear (explicando passo a passo, como num bom mapa mental):
Se \alpha=\{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 e \beta é a base de \mathbb{R}^3, então a matriz [T]_{\alpha}^{\beta} tem como colunas as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) em relação à base \beta.
No nosso caso \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^2, ou seja v_1=(1,0) e v_2=(0,1). Portanto:
a primeira coluna da matriz é [T(1,0)]_{\beta},
a segunda coluna da matriz é [T(0,1)]_{\beta}.
Esse fato vem da linearidade: para qualquer (x,y) em \mathbb{R}^2 tem-se (x,y)=x(1,0)+y(0,1) e então
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Passo 3
Agora pego os dados da matriz dada (peguei estes vetores da matriz fornecida):
Agora somamos componente a componente (explico: multiplicar um escalar por um vetor multiplica cada componente; somar vetores soma cada componente correspondente).
Passo 5
Fazendo a combinação componente a componente obtemos: