Dada a matriz [T]_{\alpha}^{\beta}=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ -1 & 3 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] onde:
  • \alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base de \mathbb{R}^{2} )
  • \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica de \mathbb{R}^{3} )
    (a) Encontre T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
    (b) Calcule T(4,5)

Passo 1

O enunciado dá explicitamente a matriz de T relativa às bases \alpha e \beta e pede duas coisas:
  • (a) determinar a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} em forma explícita (ou seja, uma fórmula que, a um vetor (x,y), associe T(x,y)),
  • (b) calcular T(4,5).
Informações fornecidas:
[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] -1 & 3\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix},
onde \alpha=\{(1,0),(0,1)\} (base de \mathbb{R}^2) e \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (base canônica de \mathbb{R}^3).]

Passo 2

Vou lembrar um fato essencial sobre representação matricial de uma transformação linear (explicando passo a passo, como num bom mapa mental):
  • Se \alpha=\{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 e \beta é a base de \mathbb{R}^3, então a matriz [T]_{\alpha}^{\beta} tem como colunas as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) em relação à base \beta.
  • No nosso caso \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^2, ou seja v_1=(1,0) e v_2=(0,1). Portanto:
    • a primeira coluna da matriz é [T(1,0)]_{\beta},
    • a segunda coluna da matriz é [T(0,1)]_{\beta}.
Esse fato vem da linearidade: para qualquer (x,y) em \mathbb{R}^2 tem-se (x,y)=x(1,0)+y(0,1) e então
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).

Passo 3

Agora pego os dados da matriz dada (peguei estes vetores da matriz fornecida):
[T]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] -1 & 3\\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.
Então:
  • primeira coluna =\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = [T(1,0)]_{\beta}, ou seja T(1,0)=(2,-1,0) em \mathbb{R}^3;
  • segunda coluna =\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix} = [T(0,1)]_{\beta}, ou seja T(0,1)=(1,3,2).]

Passo 4

Usando linearidade e a decomposição de um vetor genérico (x,y)=x(1,0)+y(0,1), temos
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Substituindo os vetores que achamos:
T(x,y)=x\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.
Agora somamos componente a componente (explico: multiplicar um escalar por um vetor multiplica cada componente; somar vetores soma cada componente correspondente).

Passo 5

Fazendo a combinação componente a componente obtemos:
T(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\\ -x\\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y\\\ 3y\\\ 2y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x+y\\[4pt]-x+3y\\[4pt]0+2y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x+y\\[4pt]-x+3y\\[4pt]2y\end{pmatrix}.
Portanto a fórmula explícita da transformação é dada por combinar os coeficientes assim.]

Passo 6

Agora calculo T(4,5) substituindo x=4 e y=5 na fórmula:
  • primeira componente: 2\cdot4+5=8+5=13,
  • segunda componente: -4+3\cdot5=-4+15=11,
  • terceira componente: 2\cdot5=10.
Logo
T(4,5)=\begin{pmatrix}13\\\ 11\\\ 10\end{pmatrix}.

Resposta

(a) T(x,y)=\bigl(2x+y,\,-x+3y,\,2y\bigr)
(b) T(4,5)=(13,11,10)

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