Encontre os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x+y, y, z)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y,\; y,\; z).
O que é pedido:
Encontrar os autovalores de T.
Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Informações importantes fornecidas:
A transformação age no espaço \mathbb{R}^3.
A imagem de um vetor (x,y,z) é (x+y,y,z).
Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Para trabalhar com autovalores e autovetores é prático escrever T como uma matriz A em relação à base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Regra: a j-ésima coluna de A é T(e_j) escrita em coordenadas da base canônica.
Observação importante: A-\lambda I é uma matriz triangular superior. Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim
Se v=(x,y,z)^\top, o sistema (A-I)v=0 corresponde a:
Primeira linha: 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = 0, ou seja y=0.
Segunda e terceira linhas: 0=0 (não impõem restrição).
Logo a condição sobre v é apenas y=0; x e z são livres (podem ser quaisquer escalares), exceto que v não pode ser o vetor nulo ao procurar autovetor.
Portanto os autovetores associados a \lambda=1 são todos os vetores da forma
v = (x,0,z) = x\,(1,0,0) + z\,(0,0,1),
com x,z\in\mathbb{R} e pelo menos um entre x,z diferente de zero.
Uma base natural do espaço próprio (autovetores que geram todo o espaço próprio) é
\{(1,0,0),\; (0,0,1)\}.]
Passo 6
Interpretação e dicas para prova (rapidinha e prática):
Encontramos um único autovalor \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3, mas o espaço próprio tem dimensão 2 (a base tem dois vetores). Isso significa que a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 2, menor que a algébrica 3. Consequência: a matriz A não é diagonalizável (não tem três autovetores linearmente independentes).
Em prova, passos rápidos: (i) escreva a matriz na base canônica; (ii) calcule \det(A-\lambda I); (iii) resolva (A-\lambda I)v=0 para cada raiz \lambda. Sempre verifique a multiplicidade geométrica comparando com a algébrica para concluir sobre diagonalizabilidade, se pedirem.
Resposta
Autovalores: \lambda = 1 (multiplicidade algébrica 3).
Autovetores: todos os vetores da forma (x,0,z) com x,z\in\mathbb{R} e (x,z)\neq(0,0); uma base do espaço próprio é \{(1,0,0),\;(0,0,1)\}.