Encontre os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que se pede:
- Encontrar os autovalores (valores
tais que existe vetor não-nulo com ). - Encontrar os autovetores correspondentes (os vetores
que satisfazem ).
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de
em coordenadas . - Não há outras condições adicionais (pedimos autovalores e autovetores na base canônica).
Passo 2
Primeiro vamos escrever
na forma matricial em relação à base canônica. Se
é visto como vetor coluna, a imagem é
Portanto a matriz associada é
Passo 3
Definição prática: autovalores são as soluções
do polinômio característico
. Para matriz
usamos a fórmula do determinante
Aplicando a
:
O determinante é
Passo 4
Vamos desenvolver o polinômio característico passo a passo:
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática. Podemos calcular o discriminante
:
Como
, há uma única raiz real com multiplicidade algébrica
. A raiz é
Logo o único autovalor é
(multiplicidade algébrica
).
Passo 6
Agora encontramos os autovetores associados a
Calcule
:
Se
, o sistema linear
é
As duas equações são iguais, então basta uma:
.]
Passo 7
A solução do sistema é o conjunto de vetores da forma
com
(autovetor não-nulo). Portanto o espaço próprio (eigenspace) associado a
é a reta gerada por
.
Observação didática rápida: aqui a multiplicidade algébrica do autovalor é
(apareceu duas vezes no polinômio), mas a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é
, porque só temos uma direção de autovetores. Isso significa que
não é diagonalizável sobre
— útil saber na prova se aparecer pedido sobre diagonalização — mas o problema original pedia apenas autovalores e autovetores.]
Resposta
Autovetores: todos os múltiplos de
, ou seja,
com
.]