Encontre os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear
Informações dadas que vamos usar:
- Um vetor genérico de
é com . - A imagem
é o polinômio . - O objetivo é achar todos os escalares
e polinômios não-nulos tais que .
Passo 2
Primeiro, o que significa ser autovalor/autovetor aqui?
Um escalar é autovalor se existir polinômio não-nulo
tal que
Um escalar
Esse polinômio
é um autovetor (associado a
). Vamos aplicar essa definição ao
genérico.
Passo 3
Escrevendo a equação
com
temos, para todo
,
Isso é uma identidade de polinômios em
.
Passo 4
Colocando tudo num lado e agrupando por potências de
obtemos
onde o polinômio à esquerda deve ser o polinômio nulo (idêntico a zero) se a igualdade vale para todo
.
Passo 5
Para um polinômio ser identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Igualando coeficientes começamos pelo termo de maior grau: coeficiente de
dá
Isso já é uma informação forte: o coeficiente do
no autovetor deve ser zero.
Passo 6
Com
o coeficiente de
dá
Portanto
.
Passo 7
Com
o coeficiente de
dá
Logo
.
Passo 8
Chegamos a
. Isso significa que a única solução da equação
é o polinômio nulo
, para qualquer
. Como autovetor deve ser um vetor não-nulo, concluímos que não existe nenhum autovetor não-nulo associado a qualquer
. Em particular
também não funciona, porque
implica
(ou seja,
).
Passo 9
Interpretação intuitiva (rápida):
age como multiplicação por
(pois
). Pedir
é pedir que
seja simultaneamente múltiplo de
e tenha grau ≤2; a única possibilidade que surge da comparação de coeficientes é
. Portanto não há autovalores nem autovetores não-nulos.
Resposta
Não existem autovalores em
para
.
Não existem autovetores não-nulos (o único polinômio que satisfaz é
).
Não existem autovetores não-nulos (o único polinômio que satisfaz