Encontre os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}), T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{3}+b x^{2}+c x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear
T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}),\qquad T\big(a x^{2}+b x+c\big)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
Informações dadas que vamos usar:
  • Um vetor genérico de P_{2}(\mathbb{R}) é p(x)=a x^{2}+b x+c com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A imagem T(p) é o polinômio a x^{3}+b x^{2}+c x.
  • O objetivo é achar todos os escalares \lambda e polinômios não-nulos p tais que T(p)=\lambda p.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser autovalor/autovetor aqui?
Um escalar \lambda\in\mathbb{R} é autovalor se existir polinômio não-nulo p\in P_{2}(\mathbb{R}) tal que
T(p)=\lambda p.
Esse polinômio p é um autovetor (associado a \lambda). Vamos aplicar essa definição ao p(x)=a x^{2}+b x+c genérico.

Passo 3

Escrevendo a equação T(p)=\lambda p com p(x)=a x^{2}+b x+c temos, para todo x,
a x^{3}+b x^{2}+c x=\lambda\big(a x^{2}+b x+c\big).
Isso é uma identidade de polinômios em x.

Passo 4

Colocando tudo num lado e agrupando por potências de x obtemos
a x^{3} + (b-\lambda a) x^{2} + (c-\lambda b) x - \lambda c = 0,
onde o polinômio à esquerda deve ser o polinômio nulo (idêntico a zero) se a igualdade vale para todo x.

Passo 5

Para um polinômio ser identicamente zero, cada coeficiente deve ser zero. Igualando coeficientes começamos pelo termo de maior grau: coeficiente de x^{3}
a = 0.
Isso já é uma informação forte: o coeficiente do x^{2} no autovetor deve ser zero.

Passo 6

Com a=0 o coeficiente de x^{2}
b - \lambda a = b - \lambda\cdot 0 = b = 0.
Portanto b=0.

Passo 7

Com b=0 o coeficiente de x
c - \lambda b = c - \lambda\cdot 0 = c = 0.
Logo c=0.

Passo 8

Chegamos a a=b=c=0. Isso significa que a única solução da equação T(p)=\lambda p é o polinômio nulo p\equiv 0, para qualquer \lambda. Como autovetor deve ser um vetor não-nulo, concluímos que não existe nenhum autovetor não-nulo associado a qualquer \lambda. Em particular \lambda=0 também não funciona, porque T(p)=0 implica p=0 (ou seja, \ker T=\{0\}).

Passo 9

Interpretação intuitiva (rápida): T age como multiplicação por x (pois T(p)=x\cdot p). Pedir x\cdot p=\lambda p é pedir que p seja simultaneamente múltiplo de (x-\lambda) e tenha grau ≤2; a única possibilidade que surge da comparação de coeficientes é p\equiv 0. Portanto não há autovalores nem autovetores não-nulos.

Resposta

Não existem autovalores em \mathbb{R} para T.
Não existem autovetores não-nulos (o único polinômio que satisfaz T(p)=\lambda p é p\equiv 0).

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