Encontrar todos os autovalores (os valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com Av=\lambda v).
Para cada autovalor encontrado, determinar o autoespaço associado (o conjunto de vetores v que satisfazem Av=\lambda v, ou seja, o núcleo de A-\lambda I).
As entradas da matriz acima são os dados que vamos usar.]
Passo 2
Breve lembrete didático (passo por passo do que vamos fazer).
Um autovalor \lambda satisfaz a equação característica \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3.
Para cada autovalor \lambda encontramos os autovetores resolvendo (A-\lambda I)x=0; o conjunto de todas as soluções forma o autoespaço E_\lambda=\ker(A-\lambda I).
Para calcular \det(A-\lambda I) vou montar A-\lambda I e expandir o determinante explicitamente, mostrando cada menor e fatoração.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevemos
Os autovalores são as raízes do polinômio característico:
\lambda=0,\quad \lambda=3,\quad \lambda=-1.
Passo 5
Encontrar o autoespaço associado a \lambda=0\), ou seja \(\ker(A)\). Resolve-se \(Ax=0\):
\[\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 \\[4pt] 1 & -1 & 1 \\[4pt] 2 & -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações:
\begin{cases} 2x - y +3z = 0,\\[4pt] x - y + z = 0,\\[4pt] 2x -3y + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=y-z\]. Substituo na primeira:
\[2(y-z)-y+3z=0 \implies y+z=0 \implies y=-z.\]
Então \(x=y-z=-z-z=-2z. A terceira equação é compatível (verificação rápida). Assim as soluções são
(x,y,z)=z(-2,-1,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Logo o autoespaço correspondente a \lambda=0 é de dimensão 1 e
\begin{cases} - x - y +3z = 0,\\[4pt] x -4y + z = 0,\\[4pt] 2x -3y -2z = 0. \end{cases}
Da segunda equação x=4y-z\]. Substituo na primeira:
\[-(4y-z)-y+3z=0 \implies -5y+4z=0 \implies y=\tfrac{4}{5}z.\]
Então \(x=4\cdot\tfrac{4}{5}z - z = \tfrac{16}{5}z - \tfrac{5}{5}z = \tfrac{11}{5}z.
Escolhendo z=5 para limpar denominadores, obtenho o autovetor
(x,y,z)=(11,4,5).
A verificação na terceira equação confirma compatibilidade. Portanto
\begin{cases} 3x - y +3z = 0,\\[4pt] x + z = 0,\\[4pt] 2x -3y +2z = 0. \end{cases}
Da segunda equação x=-z\]. Substituindo na primeira:
\[3(-z)-y+3z=-y=0\implies y=0.\]
A terceira equação fica automaticamente satisfeita. Assim as soluções são
\[(x,y,z)=z(-1,0,1),\qquad z\in\mathbb{R}.\]
Portanto
\[E_{-1}=\ker(A+I)=\operatorname{span}\{(-1,0,1)\},\]
também de dimensão \(1.]
Passo 8
Resumo interpretativo (curtinho e encorajador): obtivemos três autovalores distintos \{0,3,-1\} e para cada um o autoespaço tem dimensão 1. Como há três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável (se precisar usar isso na prova, basta formar a matriz com esses autovetores como colunas).