Encontre A e B para separar 1 /\left(x^{2}-x\right) :
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}
Então integre \int \frac{1}{x^{2}-x} d x

Passo 1

O enunciado dá a identidade a ser satisfeita e pede duas coisas:
  • Encontrar os coeficientes A e B na decomposição
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}.
  • Calcular a integral
\int \frac{1}{x^{2}-x}\,dx.
Informações relevantes: o denominador se fatorou como x(x-1), logo os pontos x=0 e x=1 são singulares (a expressão não está definida neles). A decomposição em frações parciais com termos do tipo \dfrac{A}{x} e \dfrac{B}{x-1} é apropriada porque os fatores do denominador são lineares e distintos.

Passo 2

Explico a técnica que vamos usar (decomposição em frações parciais) de forma curta e prática: se
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1},
então multiplicando ambos os lados por x(x-1) obtemos uma identidade válida para todo x (exceto 0 e 1):
1 = A(x-1)+Bx.
Isto transforma o problema em encontrar A e B tais que essa igualdade polinomial seja verdadeira para todo x.

Passo 3

Agora vou determinar A e B escolhendo valores convenientes de x para simplificar a identidade 1 = A(x-1)+Bx.
Escolha x=0:
1 = A(0-1) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = -A \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Escolha x=1:
1 = A(1-1) + B\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = B \quad\Rightarrow\quad B = 1.
Assim, os coeficientes são A=-1 e B=1.

Passo 4

Escrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{1}{x(x-1)}=\frac{-1}{x}+\frac{1}{x-1}.
Como verificação rápida (opcional): somando as frações do lado direito obtemos
\frac{-1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{-1(x-1)+1\cdot x}{x(x-1)}=\frac{-x+1+x}{x(x-1)}=\frac{1}{x(x-1)},
que é exatamente o lado esquerdo.

Passo 5

Agora integramos. Usamos linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Assim
\int \frac{1}{x^{2}-x}\,dx = \int\!\left(\frac{-1}{x}+\frac{1}{x-1}\right)dx = -\int\frac{1}{x}\,dx + \int\frac{1}{x-1}\,dx.
Conhecimento importante (fórmula usada): para u uma função diferenciável com derivada u', tem-se
\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C.
No caso \dfrac{1}{x} a primitiva é \ln|x| porque a derivada de \ln|x| é 1/x. Para \dfrac{1}{x-1} a primitiva é \ln|x-1| porque a derivada de \ln|x-1| é 1/(x-1) (ou ver por substituição u=x-1).
Portanto
-\int\frac{1}{x}\,dx + \int\frac{1}{x-1}\,dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + C.

Passo 6

Finalizamos simplificando a expressão com logaritmos: a diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente:
-\ln|x| + \ln|x-1| = \ln\!\left|\frac{x-1}{x}\right|.
Então a primitiva fica
\int \frac{1}{x^{2}-x}\,dx = \ln\!\left|\frac{x-1}{x}\right| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se que a expressão original não está definida em x=0 nem em x=1, por isso a primitiva vale em qualquer intervalo onde x mantém sinal e evita esses pontos.

Resposta

A=-1,\; B=1
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-x}\,dx = \ln\!\left|\frac{x-1}{x}\right| + C

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