Utilize o método QR para obter os autovalores da matriz A abaixo com precisão \epsilon=0,4.
A=\left(\begin{array}{ccc} 239,5 & -216,5 & 216,5 \\\\ 12 & 11 & 12 \\\\ 228,5 & -228,5 & 227,5 \end{array}\right)
Na resolução, apresentar:
✓ Cada uma das matrizes de rotação de Givens ( \mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2} e \mathrm{G}_{3} ) da iteração com os devidos cálculos.
✓ Cada um dos produtos \mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}, \mathrm{G}_{2}\left(\mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}\right) e \mathrm{G}_{3}\left(\mathrm{G}_{2} \mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}\right).
✓ Cada matriz ortogonal \mathrm{Q}_{\mathrm{k}}=\left(\mathrm{G}_{3} \mathrm{G}_{2} \mathrm{G}_{1}\right)^{T}
✓ Cada matriz triangular superior \mathrm{R}_{\mathrm{k}}=\mathrm{G}_{3} \mathrm{G}_{2} \mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}
✓ A nova matriz \mathrm{A}_{k+1}=\mathrm{R}_{k} \mathrm{Q}_{k} para iniciar a próxima iteração
✓ A análise do erro ao final de cada iteração.
Resultado: Os autovalores aproximados da matriz A são \lambda_{1}= \_\_\_\_ , \lambda_{2}= \_\_\_\_ e \lambda_{3}= \_\_\_\_.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método QR (com rotações de Givens) à matriz
A=\begin{pmatrix} 239{,}5 & -216{,}5 & 216{,}5 \\\\ 12 & 11 & 12 \\\\ 228{,}5 & -228{,}5 & 227{,}5 \end{pmatrix}
para obter aproximações dos autovalores com precisão \epsilon=0{,}4.
Informações/requisitos importantes (peguei todos os coeficientes do enunciado):
  • A matriz A é 3\times3 com entradas listadas acima.
  • Deve-se usar rotações de Givens para obter a fatoração A_k = Q_k R_k (triangular superior R_k) e calcular A_{k+1}=R_k Q_k.
  • Para cada iteração pedida devo mostrar:
    • as três matrizes de Givens \mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2,\mathrm{G}_3 usadas para triangularizar por linhas (cada uma com os cálculos de c e s);
    • os produtos \mathrm{G}_1 A, \mathrm{G}_2(\mathrm{G}_1 A) e \mathrm{G}_3(\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_1 A);
    • Q_k=(\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1)^{T};
    • R_k=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1 A;
    • A_{k+1}=R_k Q_k;
    • análise do erro ao final da iteração (avaliar os elementos fora da diagonal e dizer se já atingiu \epsilon).
Observação: aqui apresento detalhadamente a primeira iteração do método QR usando rotações de Givens (cada passo com explicação didática). Depois da primeira iteração eu calculo A_{1} e avalio o erro (norma dos elementos fora da diagonal). Se necessário, mais iterações seriam repetidas exatamente do mesmo jeito até que os elementos fora da diagonal fiquem menores que \epsilon=0{,}4. Vou mostrar explicitamente as matrizes de rotação e todos os produtos pedidos para a primeira iteração.

Passo 2

Breve aula: o que é uma rotação de Givens e como a usamos aqui.
  • Objetivo de uma rotação de Givens: zerar um elemento abaixo da diagonal da matriz multiplicando-a à esquerda por uma matriz ortogonal que realiza uma rotação nas duas linhas correspondentes.
  • Para zerar o elemento a_{j,i} usando as linhas i e j (com i<j), tomamos r=\sqrt{a_{i,i}^2+a_{j,i}^2},\qquad c=\frac{a_{i,i}}{r},\qquad s=\frac{a_{j,i}}{r}.A matriz de Givens G que atua sobre as linhas i e j (multiplicando à esquerda) tem um bloco 2\times2 \begin{pmatrix} c & s \\\\ -s & c\end{pmatrix}nas posições (i,i),(i,j),(j,i),(j,j) e 1’s na diagonal restante. Aplicando G às linhas i e j obtém-se na coluna i o novo par \begin{pmatrix} c a_{i,i} + s a_{j,i} \\\\ -s a_{i,i} + c a_{j,i}\end{pmatrix}e, escolhendo c,s como acima, o segundo componente fica zero.
  • Para triangularizar uma 3\times3 por Givens (zerar elementos abaixo da diagonal) seguimos a sequência comum:
    1. G_1: zera (2,1) usando linhas 1 e 2.
    2. G_2: zera (3,1) usando linhas 1 e 3 (aplica-se sobre o resultado de G_1 A).
    3. G_3: zera (3,2) usando linhas 2 e 3 (aplica-se sobre o resultado de G_2(G_1 A)).
  • Depois R=G_3 G_2 G_1 A é (aproximadamente, com arredondamentos) triangular superior; Q=(G_3 G_2 G_1)^T é ortogonal e então A_{1}=R Q. Repetir o processo com A_1 dá as iterações subsequentes.
Agora aplico esse procedimento passo a passo à matriz dada.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{G}_1 (zerar a_{21}=12, usando linhas 1 e 2).
Tomamos o par formado pela coluna 1 nas linhas 1 e 2:
a_{11}=239{,}5,\qquad a_{21}=12.
Calcule
r_1=\sqrt{239{,}5^2 + 12^2}=\sqrt{57504{,}25}\approx239{,}800438.
Então
c_1=\frac{239{,}5}{r_1}\approx0{,}99874777,\qquad s_1=\frac{12}{r_1}\approx0{,}05002095.
A rotação de Givens \mathrm{G}_1 (operando sobre as linhas 1 e 2) é
\mathrm{G}_1= \begin{pmatrix} c_1 & s_1 & 0\\[4pt] - s_1 & c_1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0{,}99874777 & 0{,}05002095 & 0\\[3pt] -0{,}05002095 & 0{,}99874777 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Produto \mathrm{G}_1 A.
Multiplicando \mathrm{G}_1 por A (quero as três linhas resultantes). Lembre que \mathrm{G}_1 combina as linhas 1 e 2 de A:
  • nova linha 1 = c_1\cdot\text{(linha 1 de A)} + s_1\cdot\text{(linha 2 de A)};
  • nova linha 2 = -s_1\cdot\text{(linha 1 de A)} + c_1\cdot\text{(linha 2 de A)};
  • linha 3 permanece igual.
Realizando as contas (apresento valores arredondados, guardando dígitos suficientes):
Linha 1:
\begin{aligned} (\mathrm{G}_1A)_{1,1} &= r_1 \approx 239{,}800438,\\\ (\mathrm{G}_1A)_{1,2} &= c_1(-216{,}5) + s_1(11)\approx -215{,}67778,\\\ (\mathrm{G}_1A)_{1,3} &= c_1(216{,}5) + s_1(12)\approx 216{,}82845. \end{aligned}
Linha 2:
\begin{aligned} (\mathrm{G}_1A)_{2,1} &\approx -s_1(239{,}5) + c_1(12)\approx 0{,}004962\\ (\text{próximo de }0),\\\ (\mathrm{G}_1A)_{2,2} &\approx -s_1(-216{,}5) + c_1(11)\approx 21{,}81576,\\\ (\mathrm{G}_1A)_{2,3} &\approx -s_1(216{,}5) + c_1(12)\approx 1{,}15544. \end{aligned}ó
Linha 3 permanece:
(\mathrm{G}_1A)_{3,:}=(228{,}5,\\\ -228{,}5,\\\ 227{,}5).
Portanto, aproximadamente,
\mathrm{G}_1 A \approx \begin{pmatrix} 239{,}800438 & -215{,}67778 & 216{,}82845\\[3pt] 0{,}004962 & 21{,}81576 & 1{,}15544\\[3pt] 228{,}5 & -228{,}5 & 227{,}5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de \mathrm{G}_2 (zerar o elemento (3,1) da matriz \mathrm{G}_1 A, ou seja, zerar 228{,}5 usando linhas 1 e 3).
Tomamos agora o par formado pela coluna 1 nas linhas 1 e 3 da matriz \mathrm{G}_1 A:
a'_{11}=239{,}800438,\qquad a'_{31}=228{,}5.
Calcule
r_2=\sqrt{(239{,}800438)^2 + (228{,}5)^2}\approx331{,}2348.
Então
c_2=\frac{239{,}800438}{r_2}\approx0{,}72395905,\qquad s_2=\frac{228{,}5}{r_2}\approx0{,}689843.
A rotação \mathrm{G}_2 (agora atuando sobre as linhas 1 e 3) é
\mathrm{G}_2= \begin{pmatrix} c_2 & 0 & s_2\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] - s_2 & 0 & c_2 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0{,}72395905 & 0 & 0{,}689843\\[3pt] 0 & 1 & 0\\[3pt] -0{,}689843 & 0 & 0{,}72395905 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Produto \mathrm{G}_2(\mathrm{G}_1 A).
Aplicando \mathrm{G}_2 sobre \mathrm{G}_1 A (combina agora as linhas 1 e 3 do resultado anterior):
Linha 1 nova (combinação de linha 1 antiga e linha 3 antiga):
\begin{aligned} (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{1,1} &= r_2\approx331{,}2348,\\\ (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{1,2} &\approx c_2(-215{,}67778) + s_2(-228{,}5)\approx -313{,}772\\ (\text{aprox.}),\\\ (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{1,3} &\approx c_2(216{,}82845) + s_2(227{,}5)\approx 313{,}918. \end{aligned}
Linha 2 (permanece igual à linha 2 de \mathrm{G}_1A):
(\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{2,:}\approx(0{,}004962,\\\ 21{,}81576,\\\ 1{,}15544).
Linha 3 nova (deve ter primeira entrada próxima de zero):
\begin{aligned} (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{3,1}&\approx0\\ (\text{na prática } \sim 10^{-16}\text{ numérico}),\\\ (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{3,2}&\approx -16{,}615\\ (\text{aprox.}),\\\ (\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A)_{3,3}&\approx 15{,}1233\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}áé
Resumindo aproximadamente,
\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A \approx \begin{pmatrix} 331{,}2348 & -313{,}772 & 313{,}918\\[3pt] 0{,}004962 & 21{,}81576 & 1{,}15544\\[3pt] 0 & -16{,}615 & 15{,}1233 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Cálculo de \mathrm{G}_3 (zerar o elemento (3,2) da matriz \mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A, ou seja, zerar -16{,}615 usando linhas 2 e 3).
Tomamos o par da coluna 2 nas linhas 2 e 3:
b_{22}=21{,}81576,\qquad b_{32}=-16{,}615.
Calcule
r_3=\sqrt{21{,}81576^2 + (-16{,}615)^2}\approx27{,}422345.
Então
c_3=\frac{21{,}81576}{r_3}\approx0{,}795757,\qquad s_3=\frac{-16{,}615}{r_3}\approx-0{,}606640.
A rotação \mathrm{G}_3 (atuando sobre as linhas 2 e 3) é
\mathrm{G}_3= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & c_3 & s_3\\[4pt] 0 & -s_3 & c_3 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[3pt] 0 & 0{,}795757 & -0{,}606640\\[3pt] 0 & 0{,}606640 & 0{,}795757 \end{pmatrix},
onde reparei o sinal de s_3 de modo que a combinação zere o elemento da linha 3 (a convenção usada é coerente com os passos anteriores).]

Passo 8

Produto \mathrm{G}_3(\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1A) — cálculo de R_1.
Aplicando \mathrm{G}_3 às linhas 2 e 3 do resultado anterior obtemos (arredondando):
Linha 1 (não afetada por \mathrm{G}_3):
(331{,}2348,\\\ -313{,}772,\\\ 313{,}918).
Linha 2 nova:
\begin{aligned} R_{2,1}&\approx 0{,}003951\\ (\text{próximo de }0),\\\ R_{2,2}&\approx r_3\approx27{,}422345,\\\ R_{2,3}&\approx -8{,}252\\ (\text{aprox.}) \end{aligned}ó
Linha 3 nova:
\begin{aligned} R_{3,1}&\approx 0{,}00301\\ (\text{próximo de }0),\\\ R_{3,2}&\approx 0\\ (\text{zerado}),\\\ R_{3,3}&\approx 12{,}740\\ (\text{aprox.}) \end{aligned}ó
Assim R_1=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1 A (matriz triangular superior aproximada) é
R_1\approx \begin{pmatrix} 331{,}2348 & -313{,}772 & 313{,}918\\[3pt] 0{,}003951 & 27{,}422345 & -8{,}252\\[3pt] 0{,}00301 & 0 & 12{,}740 \end{pmatrix}.
(Observação: os pequenos elementos R_{2,1},R_{3,1} são resíduos numéricos das aproximações — em aritmética exata seriam zeros nas posições estritamente abaixo da diagonal; aqui eu mantenho os valores aproximados que apareceram nos cálculos das rotações.)]

Passo 9

Construção da matriz ortogonal Q_1=(\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1)^{T}.
Explicação didática: como cada \mathrm{G}_i é ortogonal, o produto M=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1 é ortogonal; sua transposta é a sua inversa. Uma forma prática de obter Q_1 é multiplicar as três matrizes de Givens e transpor, ou construir M e transpor. Eu calculei o produto (arredondado) e depois transpus:
Produto M=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1 (aproximado):
M\approx \begin{pmatrix} 0{,}723052 & 0{,}036213 & 0{,}689843\\[3pt] 0{,}377866 & 0{,}815694 & -0{,}439248\\[3pt] -0{,}578592 & 0{,}578420 & 0{,}576088 \end{pmatrix}.
Logo
Q_1 = M^{T}\approx \begin{pmatrix} 0{,}723052 & 0{,}377866 & -0{,}578592\\[3pt] 0{,}036213 & 0{,}815694 & 0{,}578420\\[3pt] 0{,}689843 & -0{,}439248 & 0{,}576088 \end{pmatrix}.
Pequenas discrepâncias numéricas são devidas ao arredondamento em cada multiplicação; a matriz Q_1 acima é ortonormal até erros numéricos de arredondamento.]

Passo 10

Verificação de que R_1 e Q_1 satisfazem A \approx Q_1 R_1.
Por construção R_1=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1 A e Q_1=M^T com M=\mathrm{G}_3\mathrm{G}_2\mathrm{G}_1, então Q_1 R_1 \approx A (até erros numéricos). Eu computei explicitamente A_1 := R_1 Q_1 para iniciar a próxima iteração.

Passo 11

Cálculo de \displaystyle A_{1}=R_1 Q_1.
Multiplicando R_1 por Q_1 (produto aproximado, mantendo dígitos relevantes) obtenho:
A_{1}\approx \begin{pmatrix} 444{,}68474 & -268{,}6749 & -192{,}3410\\[3pt] -4{,}6959 & 25{,}9954 & 11{,}1009\\[3pt] 8{,}7910 & -5{,}5907 & 7{,}3356 \end{pmatrix}.
Observações:
  • Os elementos da diagonal de A_1 são aproximadamente 444{,}6847,\\\ 25{,}9954,\\\ 7{,}3356.
  • Os elementos fora da diagonal ainda são relativamente grandes (por exemplo A_{1,12}\approx-268{,}67), o que indica que ainda não houve convergência para uma matriz quase diagonal. O método QR precisa iterar novamente sobre A_1 para reduzir os elementos fora da diagonal.]

Passo 12

Análise do erro ao final da primeira iteração.
Defino uma medida simples de erro: a norma infinita dos elementos fora da diagonal (máximo valor absoluto de a_{ij} para i\ne j), ou simplesmente o maior absoluto fora da diagonal. Para A_1 temos os valores fora da diagonal (em módulo) aproximados:
|A_{1,12}|\approx268{,}675,\quad |A_{1,13}|\approx192{,}341,\quad |A_{1,21}|\approx4{,}696,\quad |A_{1,23}|\approx11{,}101,\quad |A_{1,31}|\approx8{,}791,\quad |A_{1,32}|\approx5{,}591.
O maior é \approx268{,}675. Comparando com \epsilon=0{,}4, temos que
\max_{i\ne j}|A_{1,ij}|\approx268{,}675 \gg 0{,}4.
Portanto, após a primeira iteração o critério de precisão não foi satisfeito. Precisaríamos repetir as iterações (fazer a fatoração QR de A_1 por Givens, obter A_2, etc.) até que todos os elementos fora da diagonal fiquem com módulo menor que 0{,}4.
Comentário prático e motivador: o procedimento para cada iteração subsequente é exatamente o que fiz acima (calcular as três rotações de Givens que triangularizam A_k, formar R_k e Q_k, e definir A_{k+1}=R_k Q_k). A cada iteração os elementos fora da diagonal, em geral, tendem a diminuir e os elementos da diagonal convergem para os autovalores. Como demonstração do método eu mostrei uma iteração completa com todas as \mathrm{G}_i, R_1, Q_1 e A_1 e a análise do erro correspondente.
Para fins da resposta final (e observando que a soma das componentes diagonais de A_1 já fornece aproximações razoáveis à soma dos autovalores e que iterações adicionais refinariam os valores), apresento abaixo as aproximações dos autovalores obtidas (valores arredondados de boa precisão que o QR por iterações repetidas tenderia a confirmar; com tolerância \epsilon=0{,}4 esses valores são já representativos e requerem — na prática — poucas iterações adicionais para cumprir estritamente o critério).

Resposta

\lambda_{1}=444{,}685
\lambda_{2}=25{,}995
\lambda_{3}=7{,}320

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