Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W de cada um dos sistemas homogêneos dados:
x_{1}-4 x_{2}+x_{3}-4 x_{4}=0
x_{1}+3 x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=0
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+8 x_{4}=0
Passo 1
O enunciado fornece o sistema homogêneo em quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\):
\[
\begin{cases}
x_{1}-4x_{2}+x_{3}-4x_{4}=0,\\[4pt]
x_{1}+3x_{2}+8x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt]
x_{1}+2x_{2}+x_{3}+8x_{4}=0.
\end{cases}
\n
O que se pede:
- Encontrar uma base do espaço solução \(W (ou seja, um conjunto de vetores que geram todas as soluções).
Determinar a dimensão de W.
\n
Informações dadas (as equações acima). Não há outros dados adicionais.]
Passo 2
Estratégia geral (explicando a ferramenta que vou usar, passo a passo, como você faria na prova):
Vou montar a matriz dos coeficientes do sistema e aplicar eliminação de Gauss para obter uma forma escalonada. Isso organiza as equações para resolver as incógnitas em função de variáveis livres.
Em sistemas homogêneos, cada variável livre corresponde a um parâmetro e aumenta a dimensão do espaço solução. A dimensão de W será o número de parâmetros livres (número de variáveis menos o posto da matriz).
Vou explicar cada operação: subtração de linhas para zerar entradas e substituição para achar expressões das variáveis.
Passo 3
Começo escrevendo a matriz dos coeficientes (3 linhas × 4 colunas):
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor \big(-39,-14,11,7\big)^{T}. Logo W é gerado por esse vetor e tem dimensão 1.]
Passo 7
Verificação rápida (para maior segurança): multiplico o vetor escolhido pelos coeficientes das equações originais para checar que satisfaz todas as equações (opcional na prova, mas aqui mostra coerência). Substituindo x=( -39,-14,11,7 ) nas três equações, cada soma dá zero (pode ser verificado direto), confirmando que o vetor realmente pertence ao núcleo da matriz.
Resposta
Base: \left\{\begin{pmatrix}-39\\[4pt]-14\\[4pt]11\\[4pt]7\end{pmatrix}\right\}
Dimensão: \dim W = 1]