Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
$W_{8}=\left{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}: a_{1}=a_{0}+2 a_{2}\right} \subset P_{2}(\mathbb{R}))
$W_{8}=\left{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}: a_{1}=a_{0}+2 a_{2}\right} \subset P_{2}(\mathbb{R}))
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
O conteúdo usado é o de espaços vetoriais (polinômios de grau
), subespaços definidos por uma condição linear sobre coeficientes e o conceito de base e dimensão.
Passo 2
Num polinômio genérico de
temos
Agrupando em
e
como parâmetros livres, obtemos
Passo 3
Os polinômios
e
geram
(todo
está nessa forma) e são linearmente independentes (não há combinação não trivial que dê o zero). Portanto eles formam uma base de
. Como há 2 vetores na base,
Resposta
A base de
pode ser
e
.