Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
$W_{8}=\left{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}: a_{1}=a_{0}+2 a_{2}\right} \subset P_{2}(\mathbb{R}))

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W_{8}=\{p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) : a_{1}=a_{0}+2a_{2}\}.
O conteúdo usado é o de espaços vetoriais (polinômios de grau <=2), subespaços definidos por uma condição linear sobre coeficientes e o conceito de base e dimensão.

Passo 2

Num polinômio genérico de W_{8} temos
p(t)=a_{0}+(a_{0}+2a_{2})\,t+a_{2}t^{2}.
Agrupando em a_{0} e a_{2} como parâmetros livres, obtemos
p(t)=a_{0}(1+t)+a_{2}(2t+t^{2}).

Passo 3

Os polinômios \,1+t e 2t+t^{2} geram W_{8} (todo p está nessa forma) e são linearmente independentes (não há combinação não trivial que dê o zero). Portanto eles formam uma base de W_{8}. Como há 2 vetores na base,
\dim(W_{8})=2.

Resposta

A base de W_{8} pode ser
\{\,1+t,\;2t+t^{2}\}
e \dim(W_{8})=2.

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