Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
W_{4}=[(1,0,2),(0,3,1),(4,-3,7)] \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W_{4} = \span\{(1,0,2),\,(0,3,1),\,(4,-3,7)\}\subset\mathbb{R}^{3}.
Para isso, vamos verificar a independência linear dos três vetores e extrair um conjunto de vetores independentes que gere W_{4}.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
a\,(1,0,2) \;+\; b\,(0,3,1)\;+\; c\,(4,-3,7) \;=\;(0,0,0).
Isto gera o sistema de equações nos escalares a,b,c:
\begin{cases} a + 0\,b + 4\,c = 0,\\\\ 0\,a + 3\,b -3\,c = 0,\\\\ 2\,a + 1\,b +7\,c = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolva o sistema:
Da primeira equação vem
a + 4c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -4c.
Da segunda equação vem
3b - 3c = 0 \quad\Rightarrow\quad b = c.
Substituindo em 2a + b + 7c = 0
2(-4c) + c +7c = -8c +8c = 0,
o que é automático. Logo há um parâmetro livre c, e
(a,b,c) = (-4c,\;c,\;c) = c\,(-4,1,1).

Passo 4

A relação (a,b,c)=(-4,1,1) mostra que
-4\,(1,0,2) \;+\; 1\,(0,3,1) \;+\; 1\,(4,-3,7) = (0,0,0).
Isto implica
(4,-3,7) = 4\,(1,0,2) \;-\;(0,3,1),
ou seja, o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Portanto (4,-3,7) é redundante.

Passo 5

Como (1,0,2) e (0,3,1) não satisfazem nenhuma relação não-trivial entre si, eles são linearmente independentes. Logo um conjunto de base para W_{4} é
\{(1,0,2),\,(0,3,1)\}
e a dimensão de W_{4} é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.

Resposta

Uma base de W_{4} é
\{(1,0,2),\,(0,3,1)\},
e \dim(W_{4}) = 2.

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