Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
Para isso, vamos verificar a independência linear dos três vetores e extrair um conjunto de vetores independentes que gere
.
Passo 2
Considere a combinação linear nula
Isto gera o sistema de equações nos escalares
:
Passo 3
Resolva o sistema:
Da primeira equação vem
Da primeira equação vem
Da segunda equação vem
Substituindo em
dá
o que é automático. Logo há um parâmetro livre
, e
Passo 4
A relação
mostra que
Isto implica
ou seja, o terceiro vetor é combinação dos dois primeiros. Portanto
é redundante.
Passo 5
Como
e
não satisfazem nenhuma relação não-trivial entre si, eles são linearmente independentes. Logo um conjunto de base para
é
e a dimensão de
é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.
Resposta
Uma base de
é
e