Encontre uma base e a dimensão dos seguintes sub-espaços:
W_{3}=[(1,-1,2),(2,1,1)] \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define o subespaço W_{3}\subset\mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores
v_{1} = (1,-1,2), \quad v_{2} = (2,1,1).
O que precisamos é verificar se esses vetores são linearmente independentes, pois então eles mesmos formam uma base de W_{3}, e a dimensão é o número de vetores dessa base.

Passo 2

Para testar a independência linear, consideramos a combinação
a\,v_{1} + b\,v_{2} = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 2b = 0,\\\\ -\,a + b = 0,\\\\ 2a + b = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem b = a. Substituindo em a + 2b = 0
a + 2a = 0 \;\Longrightarrow\; 3a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0.
Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como v_{1} e v_{2} são independentes e geram W_{3}, eles já formam uma base de W_{3}. O número de vetores dessa base é a dimensão de W_{3}.

Resposta

A base de W_{3} é
\{(1,-1,2),\;(2,1,1)\},
e \dim(W_{3})=2.

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