Encontre uma base e a dimensão de W subespaço de \mathscr{F}(\mathbb{R}) gerado pelas funções f(x)=1, função constante igual a 1, g(x)=\operatorname{sen} x e h(x)=\cos x.
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço W\subset\mathscr{F}(\mathbb{R}) gerado pelas funções
f(x)=1,\quad g(x)=\sin x,\quad h(x)=\cos x.
O conteúdo é verificar independência linear de funções e concluir dimensão e base.
Passo 2
Considere a combinação linear nula
a\,f(x) + b\,g(x) + c\,h(x) = 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto é,
a + b\,\sin x + c\,\cos x = 0\quad\forall x.
Passo 3
Avalie essa identidade em pontos convenientes:
\begin{cases} x=0:\quad a + b\cdot0 + c\cdot1 = 0 \implies a + c = 0,\\\ x=\tfrac{\pi}{2}:\quad a + b\cdot1 + c\cdot0 = 0 \implies a + b = 0,\\\ x=\pi:\quad a + b\cdot0 + c\cdot(-1) = 0 \implies a - c = 0. \end{cases}
Passo 4
Do sistema
\begin{cases} a + c = 0,\\\ a + b = 0,\\\ a - c = 0, \end{cases}
segue c=0 (da soma da primeira e terceira equações dá 2a=0), depois a=0 e então b=0. Logo, só a solução trivial existe e as três funções são linearmente independentes.