Sejam U e W subespaços de V, espaço vetorial sobre \mathbb{K}, \operatorname{com} \operatorname{dim} V=5. Se \operatorname{dim} U=1, \operatorname{dim} W=4 \mathrm{e} U \not \subset W, mostre que U \oplus W=V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com \dim V=5, e que U e W são subespaços de V tais que \dim U=1, \dim W=4 e U\not\subset W. Queremos mostrar que
U\oplus W \;=\; V.
Para isso vamos usar:
  1. A definição de soma direta, que exige
    \;U+W=V\; e \;U\cap W=\{0\}.
  2. A fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(U+W)\;=\;\dim U \;+\;\dim W\;-\;\dim(U\cap W).

Passo 2

Mostramos que U\cap W=\{0\}.
Como \dim U=1, os únicos subespaços de U são \{0\} e U inteiro. Se U\cap W\neq\{0\}, então seria igual a U, o que implica U\subset W, contradizendo a hipótese U\not\subset W. Logo
U\cap W = \{0\}.

Passo 3

Aplico a fórmula de dimensão da soma:
\dim(U+W) =\dim U + \dim W - \dim(U\cap W) =1 + 4 - 0 =5.
Como \dim V=5 e U+W é um subespaço de V, segue que
U+W = V.

Passo 4

Concluímos que U+W=V e U\cap W=\{0\}. Pelas definições, isso significa exatamente
U\oplus W = V.

Resposta

U\oplus W = V.

Exercícios relacionados