Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}3 & 6 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] em M_{2}(\mathbb{R}).
(a) Verifique se C=\left[\begin{array}{ll}4 & 8 \\\\ 0 & 6\end{array}\right] é combinação linear de A e B.
(b) Verifique se o subconjunto \{A, B, C\} é L. I. ou L.D.
(c) Determine o subespaço U=[A, B] \mathrm{e} \operatorname{dim} U.
Passo 1
O enunciado trabalha em M_{2}(\mathbb{R}) com as matrizes
Os tópicos são: (a) verificar se C está em \mathrm{span}\{A,B\}; (b) testar dependência linear de \{A,B,C\}; (c) descrever o subespaço U=\mathrm{span}\{A,B\} e achar \dim U.
Passo 2
Para (a), procuramos escalares x,y\in\mathbb{R}\) tais que
\[xA+yB = x\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}3&6\\\ 0&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&8\\\ 0&6\end{pmatrix}.
As duas primeiras equações são equivalentes, mas a terceira exige x+3y=6\], diferente de 4. Logo não há solução, e \(C\notin\mathrm{span}\{A,B\}.
Passo 3
Para (b), lembramos que um conjunto é linearmente dependente se algum elemento é combinação dos outros. Aqui notamos que
B = 3\,A
pois \;3A=\begin{pmatrix}3&6\\\ 0&3\end{pmatrix}=B. Assim já existe relação não trivial entre A e B, então \{A,B\} é L.D. e, a fortiori, \{A,B,C\} também é L.D.
Passo 4
Para (c), o subespaço gerado por A e B é
U = \mathrm{span}\{A,B\} = \{\,xA+yB : x,y\in\mathbb{R}\}.
Como B=3A, todo elemento de U tem a forma (x+3y)A, isto é
U = \{\lambda\,A : \lambda\in\mathbb{R}\}.
Logo U é gerado por um único vetor A e \dim U = 1.
Resposta
(a) C não é combinação linear de A e B.
(b) \{A,B,C\} é linearmente dependente.
(c) U = \{\lambda A:\lambda\in\mathbb{R}\} e \dim U = 1.