(1,5) Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão do espaço vetorial.
r -x+y-z+3 w=0 3 x+y-z-w=0 2 x-y-2 z-w=0 [rrrr|l -1 & 1 & -1 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & -1 & 0 2 & -1 & -2 & -1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo em quatro incógnitas
-,x + y - z + 3w = 0, 3x + y - z - w = 0, 2x - y - 2z - w = 0,
e em seguida encontrar uma base e a dimensão do espaço solução. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e preparamos o primeiro pivô multiplicando a primeira linha por -1:
[rrrr|r -1 & 1 & -1 & 3 & 0 3 & 1 & -1 & -1 & 0 2 & -1 & -2 & -1 & 0 ] ;xrightarrowL1 -L1; [rrrr|r 1 & -1 & 1 & -3 & 0 3 & 1 & -1 & -1 & 0 2 & -1 & -2 & -1 & 0 ]

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô da coluna 1:
L2 L2-3L1;Rightarrow;[0;;4;;-4;;8], L3 L3-2L1;Rightarrow;[0;;1;;-4;;5]
Depois trocamos L2rightarrow L3:
[rrrr 1 & -1 & 1 & -3 0 & 1 & -4 & 5 0 & 4 & -4 & 8 ]

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô da coluna 2 e normalizamos a coluna 3:
L3 L3-4L2;Rightarrow;[0;0;12;-12], L3 tfrac112L3;Rightarrow;[0;0;1;-1]
Agora zeramos acima desse pivô:
L2& L2+4L3;Rightarrow;[0;1;0;1], L1& L1 - L3;Rightarrow;[1;-1;0;-2], L1& L1 + L2;Rightarrow;[1;0;0;-1]

Passo 5

Da forma reduzida lemos as equações
x - w = 0, y + w = 0, z - w = 0,
ou seja
x = w, y = -w, z = w, w livre
Tomando w = t, a solução geral é
(x,y,z,w) = t,(1,,-1,,1,,1)

Resposta

Uma base do espaço solução é
(1,,-1,,1,,1),
e a dimensão desse espaço é ;1

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