(1,5) Seja S=A in R2 x 2 / a12=-a21. O conjunto S é nào vazio, pois a matriz nula está em S. Verifique se o conjunto S é um subespaço vetorial

Passo 1

O enunciado define
S = Ain R^2times2mid a12 = -,a21.
Queremos ver se S é um subespaço de R^2times2. Para isso basta checar que S não é vazio (contém a matriz zero), que é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro mostramos que a matriz zero pertence a S e que S é fechado sob adição. A matriz zero O tem entradas 0, logo
O12 = 0 = -0 = -,O21,
então Oin S. Agora sejam A,Bin S. Como A12=-A21 e B12=-B21, temos
(A+B)12 ;=; A12+B12 ;=; -A21 - B21 ;=; -l(A21+B21r) ;=; -,(A+B)21,
portanto A+Bin S.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob multiplicação por escalar. Seja lambdain R e Ain S. Então
(lambda A)12 = lambda,A12 = lambdal(-A21r) = -l(lambda,A21r) = -,(lambda A)21,
assim lambda Ain S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^2times2.

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