Exercicio 6 Sejam as bases
e
de
. Encontre a matriz de mudança de base de
para
.
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
: a base antiga
e a base nova
. Precisamos da matriz de mudança de base de
para
, ou seja, a matriz
que satisfaz
para todo vetor
. Para isso, basta expressar cada vetor de
em coordenadas da base
.
Passo 2
Para o primeiro vetor de
,
, buscamos
tais que
Isto gera as equações
Da segunda vem
. Substituindo em
obtém-se
Logo, as coordenadas de
em
são
.
Passo 3
Para o segundo vetor de
,
, buscamos
tais que
Isso dá
Subtraindo a segunda da primeira vem
e daí
. Assim, as coordenadas de
em
são
.
Passo 4
A matriz de mudança de base de
para
tem como colunas justamente as coordenadas dos vetores de
em
. Portanto,