Exercicio 6 Sejam as bases B=(1,0),(1,1) e B^prime=(2,1),(1,1) de R^2. Encontre a matriz de mudança de base de B para B^prime.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2: a base antiga
(1,0),(1,1) e a base nova
(2,1),(1,1). Precisamos da matriz de mudança de base de B para B', ou seja, a matriz P que satisfaz
[v]B' = P,[v]B
para todo vetor v. Para isso, basta expressar cada vetor de B em coordenadas da base B'.

Passo 2

Para o primeiro vetor de B, (1,0), buscamos alpha,beta tais que
(1,0) = alpha,(2,1) + beta,(1,1)
Isto gera as equações
2alpha + beta = 1, alpha + beta = 0
Da segunda vem beta = -alpha. Substituindo em 2alpha + beta = 1 obtém-se
2alpha - alpha = 1 ;Longrightarrow; alpha = 1, ;beta = -1
Logo, as coordenadas de (1,0) em B' são (1,-1).

Passo 3

Para o segundo vetor de B, (1,1), buscamos gamma,de<a tais que
(1,1) = gamma,(2,1) + de<a,(1,1)
Isso dá
2gamma + de<a = 1, gamma + de<a = 1
Subtraindo a segunda da primeira vem gamma=0 e daí de<a=1. Assim, as coordenadas de (1,1) em B' são (0,1).

Passo 4

A matriz de mudança de base de B para B' tem como colunas justamente as coordenadas dos vetores de B em B'. Portanto,
PBto B' = 1 & 0 -1 & 1

Resposta

PBto B' = 1 & 0 -1 & 1

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