Encontre:
Uma base do espaço vetorial de todas as matrizes diagonais 3 \times 3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base do espaço vetorial de todas as matrizes diagonais 3\times3.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • O conjunto considerado é o conjunto de todas as matrizes 3\times3 cuja única possível entradas não-nulas estão na diagonal principal, ou seja, matrizes da forma
\begin{pmatrix} * & 0 & 0\\[4pt] 0 & * & 0\\[4pt] 0 & 0 & * \end{pmatrix}.
  • Não foi especificado o corpo, então vou assumir o caso usual \mathbb{R} (números reais); a mesma construção vale sobre qualquer corpo \mathbb{F}.
O que é pedido:
  • Exibir um conjunto de matrizes diagonais 3\times3 que formem uma base desse espaço (ou seja, que gerem todo o espaço e sejam linearmente independentes).]

Passo 2

Entender como é uma matriz diagonal genérica e usar isso para propor candidatos a base.
Uma matriz diagonal genérica D tem a forma
D=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix},
onde a,b,c\in\mathbb{R}. Aqui a,b,c são justamente os graus de liberdade do espaço: escolher a,b,c determina D completamente. Isso já sugere que a dimensão do espaço é 3 e que precisamos de 3 vetores (matrizes) para uma base.]

Passo 3

Escolher matrizes candidatas que correspondam a “cada grau de liberdade”.
As matrizes padrão que selecionam cada coordenada são
E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad E_{22}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad E_{33}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Intuição: E_{11} tem 1 no primeiro elemento da diagonal e zeros nos demais; E_{22} e E_{33} análogos.]

Passo 4

Mostrar que essas matrizes geram (span) todo o espaço de matrizes diagonais.
Tomando coeficientes quaisquer a,b,c\in\mathbb{R} e formando a combinação linear
aE_{11}+bE_{22}+cE_{33},
temos, por soma e multiplicação por escalar entrada a entrada,
aE_{11}+bE_{22}+cE_{33} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix}.
Portanto, qualquer matriz diagonal D da forma do Passo 2 pode ser escrita assim. Conclusão: \{E_{11},E_{22},E_{33}\} gera o espaço (span é todo o espaço).]

Passo 5

Mostrar que as matrizes são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz zero:
\alpha E_{11}+\beta E_{22}+\gamma E_{33}=0,
onde 0 é a matriz zero 3\times3. Escrevendo a igualdade entrada a entrada, o lado esquerdo tem diagonal (\alpha,\beta,\gamma) e zeros fora da diagonal, enquanto o lado direito tem diagonal (0,0,0). Igualando entradas diagonais obtemos
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=0.
Logo os únicos coeficientes que aniquilam a combinação são todos zero; isso é a definição de independência linear. Portanto as três matrizes são linearmente independentes.

Passo 6

Concluir que o conjunto é uma base e comentar brevemente sobre dimensão e uso na prova.
Como \{E_{11},E_{22},E_{33}\} gera o espaço e é linearmente independente, é uma base do espaço de todas as matrizes diagonais 3\times3. A dimensão desse espaço é 3 (número de vetores da base). Na prova, se te pedirem outra base, basta checar as duas propriedades: gerar (escrever um elemento genérico como combinação) e independência (combinação nula implica coeficientes nulos); uma forma prática é mapear cada matriz diagonal para o vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 e trabalhar com bases de \mathbb{R}^3.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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