Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
\mathbb{R}^{3 m}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço vetorial \mathbb{R}^{3m}.
Informações dadas e suposições naturais:
  • O símbolo \mathbb{R}^{3m} representa o conjunto de todos os vetores com 3m coordenadas reais.
  • Presume-se que m é um número inteiro não negativo (se m não for inteiro não faz sentido falar em \mathbb{R}^{3m} como espaço de coordenadas). Vou considerar m\in\mathbb{N}_0 (naturais incluindo zero).

Passo 2

Lembra do que é dimensão: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram (fazem o span) de todo o espaço.
Vou construir explicitamente uma base conhecida para \mathbb{R}^{3m}: a base canônica (ou padrão).

Passo 3

Definição da base canônica: para i=1,2,\dots,3m define-se o vetor e_i que tem todas as coordenadas zero, exceto a i-ésima que vale 1. Ou seja,
e_1=(1,0,0,\dots,0),\; e_2=(0,1,0,\dots,0),\; \ldots,\; e_{3m}=(0,0,\dots,0,1).

Passo 4

Mostro que os vetores e_1,\dots,e_{3m} são linearmente independentes.
Tomemos uma combinação linear que dá o vetor nulo:
a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_{3m} e_{3m} = 0.
O lado esquerdo é o vetor (a_1,a_2,\dots,a_{3m}). Para que esse vetor seja o vetor nulo, cada coordenada deve ser zero, logo
a_1=0,\\ a_2=0,\\ \dots,\\ a_{3m}=0.
Portanto os coeficientes são todos zero, o que prova que e_1,\dots,e_{3m} são linearmente independentes.

Passo 5

Mostro que e_1,\dots,e_{3m} geram \mathbb{R}^{3m}.
Tomemos um vetor arbitrário em \mathbb{R}^{3m}:
v=(v_1,v_2,\dots,v_{3m}).
Esse vetor pode ser escrito como combinação linear
v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + \cdots + v_{3m} e_{3m}.
Assim qualquer vetor do espaço é gerado pelos e_i, logo o conjunto \{e_1,\dots,e_{3m}\} gera \mathbb{R}^{3m}.

Passo 6

Concluo que \{e_1,\dots,e_{3m}\} é uma base de \mathbb{R}^{3m} porque é linearmente independente e gera o espaço. O número de vetores nessa base é 3m. Pela definição de dimensão, a dimensão de \mathbb{R}^{3m} é o número de vetores em qualquer base, portanto é 3m.
Observação especial: se m=0 então \mathbb{R}^{0} é o espaço nulo e sua dimensão é 0. Para m\in\mathbb{N} a dimensão é 3m.

Resposta

3m

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