Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço vetorial
.
Informações dadas e suposições naturais:
- O símbolo
representa o conjunto de todos os vetores com coordenadas reais. - Presume-se que
é um número inteiro não negativo (se não for inteiro não faz sentido falar em como espaço de coordenadas). Vou considerar (naturais incluindo zero).
Passo 2
Lembra do que é dimensão: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram (fazem o span) de todo o espaço.
Vou construir explicitamente uma base conhecida para
: a base canônica (ou padrão).
Passo 3
Definição da base canônica: para
define-se o vetor
que tem todas as coordenadas zero, exceto a
-ésima que vale 1. Ou seja,
Passo 4
Mostro que os vetores
são linearmente independentes.
Tomemos uma combinação linear que dá o vetor nulo:
O lado esquerdo é o vetor
. Para que esse vetor seja o vetor nulo, cada coordenada deve ser zero, logo
Portanto os coeficientes são todos zero, o que prova que
são linearmente independentes.
Passo 5
Mostro que
geram
.
Tomemos um vetor arbitrário em
:
Esse vetor pode ser escrito como combinação linear
Assim qualquer vetor do espaço é gerado pelos
, logo o conjunto
gera
.
Passo 6
Concluo que
é uma base de
porque é linearmente independente e gera o espaço. O número de vetores nessa base é
. Pela definição de dimensão, a dimensão de
é o número de vetores em qualquer base, portanto é
.
Observação especial: se
então
é o espaço nulo e sua dimensão é
. Para
a dimensão é
.