Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
M_{3,3}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço vetorial M_{3,3}.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
M_{3,3} é o conjunto de todas as matrizes 3\times3 sobre um corpo (tipicamente \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
Uma matriz A\in M_{3,3} tem 9 entradas, que podemos nomear como a_{11},a_{12},\dots,a_{33}.
Passo 2
Vamos lembrar o que é dimensão de um espaço vetorial, explicado de forma direta:
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que (i) gera o espaço (ou seja, qualquer vetor do espaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros).
A dimensão do espaço é o número de vetores em qualquer base (todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo número de vetores).
Vou construir explicitamente uma base de M_{3,3} e contar quantos vetores (matrizes) tem.
Passo 3
Defino as matrizes elementares \,E_{ij}\, para i,j\in\{1,2,3\} como a matriz 3\times3 que tem 1 na posição (i,j) e 0 em todas as outras entradas. Por exemplo, \,E_{12}\, tem 1 na linha 1 coluna 2 e zeros no resto.
Há exatamente 3\times3=9 dessas matrizes: \,E_{11},E_{12},E_{13},E_{21},\dots,E_{33}\,.
Agora mostro que essas 9 matrizes geram M_{3,3}. Seja uma matriz arbitrária
Ou seja, cada entrada a_{ij} multiplica o E_{ij} correspondente; portanto as E_{ij} geram M_{3,3}.]
Passo 4
Agora verifico que as 9 matrizes \{E_{ij}\} são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que dá a matriz nula:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} c_{ij}\,E_{ij}=0,
onde os c_{ij} são escalares. Olhando a entrada (p,q) da soma, essa entrada é exatamente c_{pq} (pois somente E_{pq} contribui com 1 nessa posição). Como a soma é a matriz nula, cada entrada é zero, daí c_{pq}=0 para todo p,q. Logo todos os coeficientes são zero, o que prova a independência linear.
Passo 5
Como as 9 matrizes \{E_{ij}\} geram M_{3,3} e são linearmente independentes, elas formam uma base de M_{3,3}. Portanto a dimensão de M_{3,3} é o número de vetores dessa base, isto é, 9.
Observação prática rápida: o argumento acima é genérico — para o espaço M_{m,n} de matrizes m\times n a mesma construção dá dimensão m\cdot n. Força aí — você já pegou o raciocínio principal!