Encontre:
Uma base do espaço vetorial de todas as matrizes diagonais 3 \times 3 e sua dimensão

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se: encontrar uma base do espaço vetorial de todas as matrizes diagonais 3\times3 e a dimensão desse espaço.
  • Informação dada: o espaço é formado por todas as matrizes 3\times3 que têm zeros fora da diagonal principal; ou seja, matrizes da forma
\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix},
onde a,b,c são números reais (ou do corpo que estiver sendo considerado).]

Passo 2

Entendendo a forma geral das matrizes diagonais e por que é um espaço vetorial (curtinho e prático).
  • Uma matriz diagonal A pode ser escrita como
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Soma de duas matrizes diagonais tem formato diagonal (soma elemento a elemento), e escalares multiplicam cada entrada diagonal; assim o conjunto é fechado por soma e multiplicação por escalar. Portanto é um subespaço vetorial de M_{3\times3}.]

Passo 3

Sugestão natural de candidatos a base (intuição): matrizes com um único 1 numa posição da diagonal e zeros em todo o resto.
Definir três matrizes:
D_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad D_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad D_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Essas são as matrizes “canônicas” que colocam 1 em cada posição da diagonal principal, uma por vez.]

Passo 4

Provar que D_1,D_2,D_3 geram (span) todo o espaço de matrizes diagonais.
  • Tome uma matriz diagonal arbitrária
A=\begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix}.
  • Verificar a combinação linear
aD_1+bD_2+cD_3= \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\[4pt] 0 & b & 0\\[4pt] 0 & 0 & c \end{pmatrix}=A.
  • Conclusão: para todo A existe (a,b,c) tais que A=aD_1+bD_2+cD_3. Logo \{D_1,D_2,D_3\} gera o espaço.]

Passo 5

Provar que D_1,D_2,D_3 são linearmente independentes.
  • Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha D_1+\beta D_2+\gamma D_3=0_{3\times3},
onde 0_{3\times3} é a matriz zero.
  • Escrevendo as entradas diagonais da soma obtemos a igualdade de matrizes equivalente ao sistema
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=0.
  • Como os únicos escalares que satisfazem a combinação nula são \alpha=\beta=\gamma=0, as matrizes são linearmente independentes.

Passo 6

Concluir que \{D_1,D_2,D_3\} é uma base e calcular a dimensão.
  • Pelo Passo 4 têm-se que o conjunto gera o espaço; pelo Passo 5 é linearmente independente. Logo é uma base.
  • A dimensão do espaço é o número de vetores de qualquer base, aqui 3.
Dica rápida para prova: sempre que tiver o espaço de matrizes diagonais n\times n, a base padrão é formada pelas n matrizes com um único 1 na diagonal (em cada posição i,i) e zeros nos demais lugares; a dimensão será n.

Resposta

Uma base é \left\{\,\displaystyle D_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\;D_2=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\;D_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}\,\right\}
\displaystyle
Dimensão: \;3]

Exercícios relacionados