Encontre:
Todos os subconjuntos de S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\} que formam uma base de \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\} e pede: encontrar todos os subconjuntos de S que formam uma base de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores disponíveis são (1,0), (0,1) e (1,1).
  • Uma base de \mathbb{R}^{2} precisa ser um conjunto de vetores que:
    • gerem \mathbb{R}^{2} (ou seja, seu span é todo \mathbb{R}^{2});
    • sejam linearmente independentes.
  • Em \mathbb{R}^{2} uma base tem exatamente 2 vetores.

Passo 2

Conceitos e critérios que vamos usar (explicados de forma bem didática):
  1. O que significa ser base em \mathbb{R}^{2}:
  • Um conjunto de vetores é base se qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear desses vetores (geração) e não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero (independência linear).
  • Para \mathbb{R}^{2} isso se traduz, na prática, em: um conjunto com dois vetores é base se e somente se esses dois vetores são linearmente independentes.
  1. Como testar independência em \mathbb{R}^{2}:
  • Dois vetores u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) são linearmente independentes se a única solução de a u + b v = (0,0) for a=b=0.
  • Um teste prático e rápido: montar a matriz 2\times2 com as coordenadas como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Para
u=(u_1,u_2),\qquad v=(v_1,v_2),
o determinante é
\det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 \\[4pt] u_2 & v_2 \end{pmatrix}=u_1v_2-u_2v_1.
Se este número \neq 0, os vetores não são colineares e formam uma base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 3

Quais subconjuntos de S podem ser candidatos a base?
  • Subconjuntos com 0 ou 1 vetor não podem ser base de \mathbb{R}^{2} (faltam vetores).
  • Subconjunto com 3 vetores não pode ser base porque uma base de \mathbb{R}^{2} tem exatamente 2 vetores; além disso 3 vetores em \mathbb{R}^{2} são necessariamente linearmente dependentes.
  • Portanto, os únicos candidatos possíveis são os subconjuntos com exatamente 2 vetores. São exatamente três pares:
    1. \{(1,0),(0,1)\}
    2. \{(1,0),(1,1)\}
    3. \{(0,1),(1,1)\}
Agora vamos testar cada par com o critério do determinante.

Passo 4

Testar \{(1,0),(0,1)\}.
Formo a matriz com colunas (1,0) e (0,1):
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot0=1\neq0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, sendo dois vetores em \mathbb{R}^{2}, formam uma base.]

Passo 5

Testar \{(1,0),(1,1)\}.
Matriz com colunas (1,0) e (1,1):
B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(B)=1\cdot1-0\cdot1=1\neq0.
Determinante não nulo \Rightarrow vetores linearmente independentes \Rightarrow formam base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 6

Testar \{(0,1),(1,1)\}.
Matriz com colunas (0,1) e (1,1):
C=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Determinante:
\det\text{(C)}=0\cdot1-1\cdot1=-1\neq0.
Determinante não nulo \Rightarrow vetores linearmente independentes \Rightarrow formam base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 7

Conclusão: todos os três pares de vetores são linearmente independentes, portanto cada um dos pares é uma base de \mathbb{R}^{2}. Não há outras possibilidades (nem singletons, nem o conjunto com três vetores) que sejam base.

Resposta

\{(1,0),(0,1)\}
\{(1,0),(1,1)\}
\{(0,1),(1,1)\}

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