Encontre:
Todos os subconjuntos de
que formam uma base de
Todos os subconjuntos de
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede: encontrar todos os subconjuntos de
que formam uma base de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores disponíveis são
, e . - Uma base de
precisa ser um conjunto de vetores que: - gerem
(ou seja, seu span é todo ); - sejam linearmente independentes.
- gerem
- Em
uma base tem exatamente 2 vetores.
Passo 2
Conceitos e critérios que vamos usar (explicados de forma bem didática):
- O que significa ser base em
:
- Um conjunto de vetores é base se qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear desses vetores (geração) e não existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero (independência linear). - Para
isso se traduz, na prática, em: um conjunto com dois vetores é base se e somente se esses dois vetores são linearmente independentes.
- Como testar independência em
:
- Dois vetores
e são linearmente independentes se a única solução de for . - Um teste prático e rápido: montar a matriz
com as coordenadas como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Para
o determinante é
Se este número
, os vetores não são colineares e formam uma base de
.]
Passo 3
Quais subconjuntos de
podem ser candidatos a base?
- Subconjuntos com 0 ou 1 vetor não podem ser base de
(faltam vetores). - Subconjunto com 3 vetores não pode ser base porque uma base de
tem exatamente 2 vetores; além disso 3 vetores em são necessariamente linearmente dependentes. - Portanto, os únicos candidatos possíveis são os subconjuntos com exatamente 2 vetores. São exatamente três pares:
-
Agora vamos testar cada par com o critério do determinante.
Passo 4
Testar
.
Formo a matriz com colunas
e
:
Calculo o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, sendo dois vetores em
, formam uma base.]
Passo 5
Testar
.
Matriz com colunas
e
:
Determinante:
Determinante não nulo
vetores linearmente independentes
formam base de
.]
Passo 6
Testar
.
Matriz com colunas
e
:
Determinante:
Determinante não nulo
vetores linearmente independentes
formam base de
.]
Passo 7
Conclusão: todos os três pares de vetores são linearmente independentes, portanto cada um dos pares é uma base de
. Não há outras possibilidades (nem singletons, nem o conjunto com três vetores) que sejam base.